Natürliche Zahlen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist der Einstieg in die tatsächliche Konstruktion der reellen Zahlen. In der Einleitung zu Kapitel 9 haben wir angekündigt, dass der Startpunkt für diese Konstruktion die natürlichen Zahlen sein werden. Dabei haben wir auf Leopold Kronecker verwiesen, der die natürlichen Zahlen als „gottgegeben“ bezeichnet. Vom Standpunkt der modernen Mathematik aus ist dieser Startpunkt aber nicht zwingend. Man könnte unser Vorhaben mit einem Hausbau vergleichen und sich dabei fragen: Was ist unsere erste Aufgabe? Die Herstellung der Ziegelsteine oder der Aufbau der Mauern aus den Ziegelsteinen? Oder aber vielleicht das Ausheben der Baugrube und das Gießen des Fundaments? In dieser Analogie spielen die natürlichen Zahlen die Rolle der Ziegelsteine. Will man auch die selbst herstellen, braucht man zusätzliche Technologie, wie sie die axiomatische Mengenlehre bereitstellt. Das Ausheben der Baugrube und das Gießen des Fundaments entsprechen dann der Unterlegung der axiomatischen Mengenlehre durch formale Logik. Sowohl die axiomatische Mengenlehre als auch die formale Logik sind im Gegensatz zur naiven Mengenlehre, die wir in Kapitel 1 und 3 besprochen haben, begrifflich aufwendige Theorien, die sich für einen Einstieg in die Mathematik nicht gut eignen. Daher verlassen wir uns darauf, dass andere die Fundamente und Ziegel bereitgestellt haben, und konzentrieren uns darauf, wie man die Wände des Hauses aus Ziegeln aufbaut.