Selbstähnliche Figuren

Zusammenfassung

Ein großer Floh hat kleine Flöhe,

die beißen ihn hier und dort,

Den kleinen tun noch kleinere wehe,

und so geht es immer fort.

Die großen Flöhe aber setzen

noch größeren Flöhen zu –

und selbst die rauben, zum Entsetzen,

nächstgrößeren Flöhen die Ruh.

(Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, 1872)

Ein Objekt heißt selbstähnlich, wenn es zu einer echten Teilmenge seiner selbst ähnlich ist, wie das unendlich oft unterteilte gleichseitige Dreieck in der Schlüsselfigur dieses Kapitels. Selbstähnliche Objekte schauen gleich aus, wenn man sie geeignet vergrößert oder auch verkleinert. Näherungsweise selbstähnliche natürliche Objekte sind beispielsweise Romanesco (eine besondere Form des Blumenkohls), das Gehäuse des Gemeinen Perlboots (Nautilus pompilius) und die Blüte des Persischen Bärenklaus (Abb. 17.1).

In der Mathematik können wir selbstähnliche Figuren durch Iteration erzeugen. Dabei unterteilen wir eine Figur in ähnliche Teile oder erweitern sie durch Bereiche, sodass diese dem Original ähnlich sind, und wiederholen diesen Prozess im Prinzip unendlich oft. In diesem Kapitel betrachten wir mehrere geometrische Figuren, bei denen ein Teil der Figur eine verkleinerte Form der gesamten Figur ist.