Das Neukeynesianische Modell

Zusammenfassung

Das 8. Kapitel behandelt das neukeynesianische Makromodell, das zur Analyse kurzfristiger monetärer Effekte inzwischen weite Anwendung findet. Das NKM-Modell unterscheidet sich von dem im vorangegangenen Abschnitt betrachteten monetären Modell vor allem dadurch, dass die Annahme flexibler Preise aufgehoben wird. Von daher wird zunächst gezeigt, welche Annahmen im NKM-Modell getroffen werden, um Preisrigiditäten zu modellieren. Anschließend wird eine einfache linearisierte Version des NKM-Modells verwendet, um stabilisierende Wirkungen der Geldpolitik in diesem Modellrahmen zu analysieren. Ausgehend von der Taylor-Regel werden alternative Zinsregeln sowie ihre stabilisierenden Eigenschaften und Wohlfahrtswirkungen diskutiert.

Appendices

Anhang: Lineare Modelle mit rationalen Erwartungen

8.1.1 A.1 Struktur des linearen Modells

Im vorangegangenen Abschnitt wurden lineare Modelle der Form:

$$ z_t=M \mathrm{E}_t z_{t+1}+N e_t, $$

(8.35)

betrachtet, wobei z _t ein n-dimensionaler Vektor endogener Variablen und e _t m-dimensionaler Vektor exogener Störungen ist. Diese Störungen folgen dem AR(1)-Prozess

$$e_{t+1}=\varOmega e_t + \varepsilon _{t+1} $$

Zu beachten ist, dass im Unterschied zu den bisher in den Kap. 6 und 7 betrachteten Modellen hier keine der im Modell enthaltenen endogenen Variablen prädeterminiert ist.

Die Lösung dieses Modells unter rationalen Erwartungen – das rationale Erwartungsgleichgewicht – besteht aus einem – ggf. stochastischen – Zeitpfad z ₀,z ₁,… der endogenen Variablen, der Lösung des Modells und beschränkt ist. Die Restriktion, dass nur beschränkte Zeitpfade mit einem Gleichgewicht vereinbar sind, kann damit begründet werden, dass ansonsten Nichtnegativitätsbedingungen oder Transversalitätsbedingungen verletzt werden (vgl. z. B. die entsprechende Argumentation im Zusammenhang mit dem monetären Steady-State in Abschn. 7.4).

8.1.2 A.2 Univariater Fall

Betrachten wir zur Illustration zunächst den einfachen Fall eines univariaten Modells:

$$ \mathrm{E}_t x_{t+1}=\alpha x_t+ u_t,\qquad \mathrm{E}_t[u_{t+1}]=0,\quad t=0,1,\ldots $$

(8.36)

Im deterministischen Fall (u _t =0 für alle t) ergibt sich als Lösung der Differenzengleichung (8.36):

$$x_{t+1}=\alpha x_t $$

Gemäß der oben erfolgten Definition ist jede Folge x ₀,x ₁,… , die Gl. (8.36) löst und beschränkt ist, ein Gleichgewicht unter rationalen Erwartungen. Damit können nun drei Fälle unterschieden werden:

$$\begin{aligned} \mbox{(i)}\qquad|\alpha| &< 1 \quad\Rightarrow\quad\mathrm{jeder\ Startwert}\ x_0 \ \mathrm{f\ddot{u}hrt\ zu\ einer\ konvergenten\ Folge}\ \{x_t \}_{t=0}^\infty\\ \mbox{(ii)}\qquad|\alpha| &> 1 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{jeder\ Startwert}\ x_0\not=0\ \mathrm{f\ddot{u}hrt\ zu\ einer\ divergenten\ Folge}\ \{x_t \}_{t=0}^\infty \\ \mbox{(iii)}\qquad|\alpha| &= 1 \quad\Rightarrow\quad\mathrm{jeder\ Startwert}\ x_0 \ \mathrm{f\ddot{u}hrt\ zu\ einer\ konstanten\ Folge}\ \{x_t \}_{t=0}^\infty \end{aligned}$$

Im Fall |α|>1 existiert mit x ₀=0 (und folglich x _t =0 für alle t=1,2,…) eine eindeutige Lösung. Demgegenüber existieren mit |α|≤1 unendlich viele Lösungen.

Dieses Resultat kann folgendermaßen auf stochastischen Fall – das univariate Modell (8.36) – übertragen werden: Ausgehend von der Lösungsvermutung x _t =δu _t ergibt sich E _t x _t+1=0. Die Lösungsvermutung ist mit der Gleichgewichtsbedingung vereinbar, wenn $\delta=-\frac{1}{\alpha}$ gilt. Als Lösung ergibt sich dann:

$$x_{t}=-\frac{1}{\alpha} u_t $$

Diese Lösung ist – unabhängig von α – immer stationär und daher immer mit den Anforderungen an ein rationales Erwartungsgleichgewicht vereinbar. Dies ist die McCallum (1983) folgend als „Minimal-State-Variable“ Lösung („MSV-Lösung“) bezeichnete Lösung eines linearen Modells mit rationalen Erwartungen.

Die Frage ist nun, ob über die MSV-Lösung hinaus weitere rationale Erwartungsgleichgewichte existieren. Dazu wird eine alternative Lösungsvermutung der Form x _t =δ ₀ x _t−1+δ ₁ u _t−1 betrachtet. Diese Lösungsvermutung impliziert, dass E _t x _t+1=δ ₀ x _t +δ ₁ u _t gilt. Einsetzen in (8.36) zeigt, dass diese Lösungsvermutung mit der Gleichgewichtsbedingung vereinbar ist, wenn gilt:

$$\delta_0=\alpha,\qquad\delta_1=1 $$

In diesem Fall ergibt sich als Lösung daher:

$$ x_{t}=\alpha x_{t-1}+ u_{t-1} $$

(8.37)

Diese Lösung ist allerdings nur dann stationär, wenn |α|<1 gilt. Somit kann festgehalten werden, dass die Lösung (8.37) – und auch alle übrigen Lösungen über die MSV-Lösung hinausgehenden Lösungen von (8.36) – im Fall |α|≥1 instationär ist.

Das einzige rationale Erwartungsgleichgewicht im Fall |α|≥1 ist damit die MSV-Lösung – bei dieser handelt es sich also um ein determiniertes rationales Erwartungsgleichgewicht. Dagegen existieren im existieren im Fall |α|<1 neben der MSV-Lösung weitere Lösungen unter rationalen Erwartungen – die MSV-Lösung ist indeterminiert.

Allgemein besitzt ein ökonomisches Modell ein determiniertes rationales Erwartungsgleichgewicht, wenn lediglich eine Lösung unter rationalen Erwartungen existiert, die zudem beschränkt ist. Existieren mehrere solcher Lösungen, ist das rationale Erwartungsgleichgewicht indeterminiert.

8.1.3 A.3 Determinierte und indeterminierte REG und Sunspots

Indeterminierte rationale Erwartungsgleichgewichte sind zunächst einmal problematisch, weil sie eine Nichteindeutigkeit der Lösung implizieren. Dies bedeutet letztlich, dass die zugrundeliegende ökonomische Theorie – die bei der Theoriebildung getroffenen Annahmen – nicht ausreicht, um eine eindeutige Aussage über das sich einstellende Gleichgewicht zu treffen.

Ein weiteres mit indeterminierten rationalen Erwartungsgleichgewichten verbundenes Problem ist jedoch, dass in einem solchen Fall auch extrinsische Zufallsgrößen – solche ohne Einfluss auf ökonomische Fundamentalfaktoren – die ökonomische Dynamik beeinflussen können. Diese extrinsischen Zufallsgrößen werden als Sunspots bezeichnet – die von diesen beeinflussten Gleichgewichte als Sunspotgleichgewichte. Von diesen extrinsischen Zufallsgrößen bzw. Sunspots werden dann über die fundamentalen Einflüsse hinausgehende Fluktuationen begründet. Diese beeinträchtigen – risikoaverse Individuen unterstellend – die Wohlfahrt eindeutig negativ. Sofern wirtschaftspolitische Maßnahmen die Existenz von Sunspotgleichgewichten verhindern können, haben diese daher positive Wohlfahrtswirkungen.

Zur Illustration solcher Sunspotgleichgewichte soll wieder das einfache univariate Modell (8.36) betrachtet werden. Es sei s _t mit E _t [s _t+1]=0 eine seriell unkorrelierte Zufallsvariable, die keinerlei Einfluss auf ökonomische Fundamentalfaktoren hat – ein Sunspot.

Die um diesen Sunspot ergänzte Lösungsvermutung für (8.36) lautet x _t =δ ₀ x _t−1+δ ₁ u _t−1+δ ₂ s _t . Da die Wirtschaftssubjekte glauben, dass s _t+1 Einfluss auf x _t+1 hat, impliziert diese Vermutung wegen x _t+1=δ ₀ x _t +δ ₁ u _t +δ ₂ s _t+1 und E _t [s _t+1]=0, dass E _t x _t+1=δ ₀ x _t +δ ₁ u _t . Einsetzen in (8.36) zeigt, dass die Lösungsvermutung mit der Gleichgewichtsbedingung vereinbar ist, wenn gilt:

$$\delta_0=\alpha,\qquad\delta_1=1,\qquad \delta_2=\mbox{beliebig} $$

Als Lösung ergibt sich folglich:

$$x_{t}=\alpha x_{t-1}+ u_{t-1} + \delta_2 s_t $$

Diese Lösung ist nur dann, wenn |α|<1 gilt – die MSV-Lösung also indeterminiert ist – stationär. Folglich implizieren indeterminierte Gleichgewichte die Existenz von stationären Sunspotgleichgewichten.

Das was hier anhand eines einfachen univariaten Modells illustriert wurde, kann ohne Weiteres auf den multivariaten Fall des Modell (8.35) übertragen werden: Die MSV-Lösung von (8.35) hat die Form z _t =Pe _t .¹⁵ Dieses rationale Erwartungsgleichgewicht ist determiniert, wenn alle n Eigenwerte der Matrix M vom Betrag her kleiner als Eins sind – in diesem Fall ist der stationäre Punkt z ^∗=0 des deterministischen Teils von (8.35) instabil.

Übungsaufgaben

8.1

Zeigen Sie, dass p _t gemäß Gl. (8.3a) tatsächlich die Eigenschaften eines Preisindex hat, d. h. die Gleichung $\int_{0}^{1} p(j)_{t} c(j)_{t}\,dj=p_{t} c_{t}$ erfüllt.

8.2

Ermitteln Sie das Gewinn- und Lohneinkommen eines Haushalts im Gleichgewicht und zeigen Sie, dass die Budgetrestriktion (8.4c) im Gleichgewicht immer erfüllt ist.

8.3

Warum muss bezüglich der Präferenzen des repräsentativen Haushalts über den Warenkorb differenzierter Güter angenommen werden, dass η>1 gilt?

8.4

Welche Politikmaßnahmen können geeignet sein, die Differenz zwischen dem effizienten Output $y^{\mathit{opt}}_{t}$ und dem tatsächlichen Output bei flexiblen Preisen $y^{\mathit{flex}}_{t}$ zu verringern?

8.5

Stellen Sie ausgehend von dem in Abb. 8.1 dargestellten Gleichgewicht dar, welche Konsequenzen sich aus einem Anstieg des Nominalzinssatzes und einem exogenen Technologieschock ergeben.

8.6

Welches ist die optimale diskretionäre Politik im Fall seriell korrelierte Störungen der Phillipskurve (ν _t+1=ϱ _ν ν _t +ε _ν,t+1 mit 0<ϱ _ν <1)? Berechnen Sie das rationale Erwartungsgleichgewicht des NKM-Modells und die Implikationen für den Gleichgewichtszins.

8.7

Leiten Sie die unter der Annahme der Zinsregel (8.23) in (8.30) dargestellte Lösung des NKM-Modells her.

8.8

Welche Lösung für das NKM-Modell ergibt sich im Fall der Zinsregel (8.23), wenn die exogenen Störungen seriell korreliert sind, das heißt, wenn $\varOmega\not=0$ gilt?