Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

In vielen Anwendungen, etwa bei Gleichgewichtsbetrachtungen in mechanischen oder elektrischen Netzwerken oder bei der Diskretisierung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, erhält man sehr große Gleichungssysteme, teilweise mit vielen Millionen Zeilen. Die Koeffizientenmatrizen dieser Gleichungssysteme sind typischerweise dünn besetzt, d. h., die meisten Matrixeinträge sind dabei Null. Zur Lösung solcher Systeme benutzt man Iterationsverfahren, um mit einem Startwert $\boldsymbol{x}_{0}$ für die exakte Lösung x des Systems $A\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ in wenig rechenaufwendigen Schritten iterativ eine Näherungslösung $\boldsymbol{x}_{k}$ aus einem Startwert $\boldsymbol{x}_{0}$ zu erhalten, $\boldsymbol{x}_{0}\to\boldsymbol{x}_{1}\to\boldsymbol{x}_{2}\to\ \cdots\ \to\boldsymbol{x}_{k-1}\to\boldsymbol{x}_{k}$.

Da selbst exakte Lösungsverfahren rundungsfehlerbehaftet sind und Eingabefehler einen weiteren Beitrag zu Ungenauigkeiten in den exakten Lösungen leisten, kann man mit den Ungenauigkeiten in der Näherungslösung $\boldsymbol{x}_{k}$ gut leben.