Zusammenfassung
Zu den grundlegenden Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Grundschule erwerben sollen und auf denen in der Sekundarstufe aufgebaut wird, gehört das systematische Zählen. Kombinatorische Aufgabenstellungen sind in nahezu allen Schulbüchern der Klassen 3 oder 4 vertreten.
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- 1.
Aus H.-D. Rinkens/K. Hönisch/G. Träger [17], S. 77.
- 2.
Bei den inhaltlichen Überlegungen und Rechnungen zur Anzahl der möglichen Menüs wird erkennbar, wie die Multiplikation von mehr als zwei natürlichen Zahlen schrittweise auf die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen zurückgeführt werden kann. Für jede der sechs Zusammenstellungen von Vor- und Hauptspeisen gibt es vier mögliche Nachspeisen: \(24=6\cdot 4=(2\cdot 3)\cdot 4\). Abstrakt wird bei der schrittweisen Kreuzproduktbildung \((A\times B)\times C\) das Kreuzprodukt \(A\times B\), also die Menge aller geordneten Paare \((a,b)\) mit \(a\in A\) und \(b\in B\), selbst als eine Menge betrachtet, deren Kreuzprodukt mit C gebildet wird.
- 3.
Vgl. Bemerkung im Anschluss an Satz 1.5.
- 4.
Da an der Hunderter- und an der Zehnerstelle zunächst eine Null auftreten kann, können auch zwei- und einstellige Zahlen entstehen. So werden etwa die aus den drei Ziffernkarten entstandenen Zahlen 007 oder 013 wie üblich als 7 bzw. als 13, also als ein- bzw. zweistellig betrachtet.
- 5.
„Permutare“ ist lateinisch und bedeutet „vertauschen“.
- 6.
Welche Ziffern hierfür infrage kommen, hängt davon ab, welche Ziffer an der Hunderterstelle steht. Wählen wir für die Hunderterstelle etwa die Null aus, dann kommen für die Zehnerstelle nur noch die Eins und die Zwei infrage.
- 7.
Welche Ziffer dies sein muss, hängt davon ab, welche Ziffern an der Hunderter- und an der Zehnerstelle stehen. Wählen wir etwa für die Hunderterstelle die Null und für die Zehnerstelle die Zwei aus, dann bleibt nur noch die Eins übrig.
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Das Beispiel der konkret ausgewählten Menge ist „paradigmatisch“, da an ihm alle wesentlichen Aspekte deutlich werden. Alle Betrachtungen lassen sich analog auf andere n-elementigen Mengen übertragen. Unterscheiden würde sich nur die konkrete Bezeichnung der einzelnen Elemente.
- 9.
Etwas präziser sagt man in der Mathematik, dass die a i „paarweise verschiedenen“ sein müssen (vgl. Kap. 1, Fußnote 2). Symbolisch lässt sich diese Bedingung wie folgt ausdrücken: Die hier betrachteten Permutationen ohne Wiederholung lassen sich darstellen als k-Tupel \((a_{1},\ldots,a_{k})\) mit \(a_{i}\in\{1,\ldots,n\}\) für \(1\leq i\leq k\) und \(a_{i}\neq a_{j}\) für \(i\neq j\).
- 10.
Dabei wird festgelegt, dass \(0!:=1\) und \(1!:=1\) gilt.
- 11.
Das linke Produkt können wir wie jede natürliche Zahl auch als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben. Die Erweiterung dieses Bruchs mit \((n-k)\cdot\ldots\cdot 1\) führt zu dem zweiten Bruch. Dieses „Verkomplizieren“ hat ausschließlich den Sinn, einen einprägsamen Rechenausdruck für die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung zu erhalten.
- 12.
Dort sind wir von der Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung durch Division durch \(k!\) zur Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung gekommen.
- 13.
Die Ziffern wurden bei dieser allgemeinen Notation der entstehenden Zahl durch „|“ deutlich getrennt; diese Verdeutlichung ist vor allem im Folgenden wichtig.
- 14.
Die Ungleichungskette drückt die Anforderung aus, dass „die Zahlenwerte der Ziffern von links nach rechts an keiner Stelle kleiner werden“. Das „\(\leq\)“ lässt nur zu, dass die Zahlenwerte von links nach rechts gleich bleiben oder größer werden.
- 15.
Damit die Ziffern weiter einstellig bleiben, verwenden wir z und e. Dieses Problem des Ziffernvorrats tritt immer dann auf, wenn wir ein Stellenwertsystem zu einer Basis, die größer als 10 ist, betrachten (vgl. Kap. 2). Die Ziffern mit den Zahlenwerten 10 und 11 können z. B. entstehen, wenn man zunächst von der Zahl 899 ausgeht und dann den technischen Trick anwendet.
- 16.
In der Formel von Satz 10.3 müssen wir „oben“ n durch \(n+k-1\) ersetzen, während „unten“ k unverändert bleibt. Dies ergibt im Zähler \((n+k-1)!\) und im Nenner \(((n+k-1)-k)!\cdot k!= (n-1)!\cdot k!\)
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Padberg, F., Büchter, A. (2015). Systematisches Zählen – Grundaufgaben der Kombinatorik. In: Einführung Mathematik Primarstufe - Arithmetik. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43449-9_10
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