Zusammenfassung
Der Vektorbegriff gehört zu den zentralen Strukturbegriffen der Mathematik und besitzt mannigfaltige Anwendungen. Vektoren können in vielerlei Gestalt auftreten, sie beschreiben Verschiebungen, physikalische Größen, Stücklisten, Farben und vieles mehr, sogar Funktionen lassen sich strukturell sinnvoll als Vektoren deuten. Diese Vielfalt an Repräsentanten und Beispielen bedingt jedoch auch zwangsläufig, dass der Vektorbegriff stark verallgemeinernd und somit „abstrakt“ ist. Im Mathematikunterricht ist es notwendig, sich sehr leistungsfähigen Begriffen, die durch einen hohen Abstraktionsgrad gekennzeichnet sind, durch Beispiele und spezielle Fälle zu nähern, in diesen das Gemeinsame zu erkennen und sich somit schrittweise zu verallgemeinerten Begriffsbildungen „emporzuarbeiten“. Entsprechende Wege werden in diesem Kapitel beschrieben. Zunächst werden dazu Vektoren in geometrischen und physikalischen Kontexten sowie in arithmetischen Kontexten (einschließlich entsprechender Anwendungen) thematisiert. Die diesen (zunächst völlig unterschiedlichen) Vektormodellen gemeinsamen Rechengesetze bilden die Grundlage für eine behutsame Annäherung an den Vektorraumbegriff. Abschließend wird auf Linearkombinationen von Vektoren einschließlich schulisch relevanter Anwendungen eingegangen. Der Nutzung des Computers für die Vektorrechnung und für Visualisierungen wird gebührender Raum eingeräumt.
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Notes
- 1.
Es wird hierbei auf die bei den Schülern vorhandenen, in der Primar- und der Sekundarstufe I aufgebauten, anschaulichen Vorstellungen von Geraden zurückgegriffen.
- 2.
Die Begriffe „gebrochene Zahl“ und „Bruchzahl“ werden synonym gebraucht.
- 3.
Eine genauere Beschreibung des Äquivalenzklassenkonzepts der Bruchrechnung findet sich in Padberg(2009), S. 20ff..
- 4.
Die skalare Multiplikation von Vektoren darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden, bei welchem zwei Vektoren eine reelle Zahl zugeordnet wird, siehe Abschn. 4.4.1.
- 5.
Unter einem kartesischen Koordinatensystem versteht man ein Koordinatensystem mit zueinander senkrechten Achsen mit gleicher Skalierung, wobei der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden ganzzahligen Achsenwerten der Länge einer Einheitsstrecke entspricht.
- 6.
Die Bedingungen \(+:V\!\times\!V\rightarrow V\) sowie \(\cdot:\mathbb{R}\!\times\!V\rightarrow V\) beinhalten die Abgeschlossenheit der Menge V bezüglich der Verknüpfungen + und \(\cdot\), d. h., für beliebige \(\vec{u},\vec{v}\in V\) ist \(\vec{u}+\vec{v}\in V\) und für beliebige \(\lambda\in\mathbb{R}\), \(\vec{u}\in V\) ist \(\lambda\cdot\vec{u}\in V\).
- 7.
Auch historisch bildete sich ein axiomatischer Vektorraumbegriff erst relativ spät heraus, nämlich am Übergang vom 19. zum 20. Jahrhundert; wesentliche Beiträge hierfür lieferten Grassmann, Peano und Weyl. Mit konkreten Vektormodellen wurde weit vorher gearbeitet; bereits 1679 legte Leibniz Vorstellungen dar, einen geometrischen Vektorkalkül zu schaffen. Die Axiomatisierung des Vektorraumbegriffs erfolgte also auch in der Geschichte der Mathematik auf der Grundlage vielfältiger, bereits gut bekannter konkreter Modelle. Zur Geschichte der Vektorrechnung und zur Herausbildung des Vektorraumbegriffs siehe u. a. Alten et al.(2003), S. 410ff., S. 487, S. 557f., Dorier(2000), S. 1–81 und Tietze et al.(2000), S. 73–92.
- 8.
Dass hierbei mit Matrizen gerechnet wird, muss nicht explizit thematisiert werden; die komponentenweise Addition von Matrizen ist (zumindest an dem konkreten Beispiel der magischen Quadrate) auch für Schüler der Mittelstufe plausibel. Sollten Matrizen in der Sekundarstufe II behandelt werden, so lassen sich magische Quadrate natürlich als spezielle Matrizen betrachten.
- 9.
Die Anwendung dieser beiden Überlegungen stellte eine wesentliche Grundlage dafür dar, dass der Kandidat Robin Wersig am 28. Dezember 2011 zu „Deutschlands Superhirn“ gekürt wurde. In der gleichnamigen ZDF-Sendung füllte er „blind“ (aus dem Kopf) ein Schachbrett mit einem magischen Quadrat (der Kantenlänge 8) aus, wobei die Zeilen- und Spaltensumme vom Publikum vorgegeben wurde – die Diagonalenbedingung wurde nicht gestellt, es handelte sich um ein „halbmagisches“ Quadrat. Als zusätzliche Schwierigkeit musste der Kandidat das Quadrat aber im „Rösselsprung“ (mit den Zügen eines Springers auf dem Schachbrett) ausfüllen. Es ist davon auszugehen, dass sich Robin Wersig ein festes magisches Quadrat eingeprägt hatte und durch Addition eines Vielfachen eines (ebenfalls eingeprägten) Quadrats der Zeilensumme 1 das Quadrat mit der vom Publikum gewünschten Zeilensumme im Kopf berechnete. Zu Wersigs Vorgehensweise und alternativen Möglichkeiten, die „Superhirn-Aufgabe“ zu lösen, siehe ausführlicher Griewank et al.(2012).
- 10.
Vollständige Beweise hierfür werden u. a. in Filler(2011), S. 174f. geführt.
- 11.
Nach dem Unterraumkriterium, siehe etwa Filler(2011), S. 172, genügt diese Abgeschlossenheit (zusammen mit der Tatsache, dass magische Quadrate beliebiger Kantenlänge existieren, also nicht die leere Menge betrachtet wird), um zu begründen, dass die Menge aller magischen Quadrate mit einer vorgegebenen Kantenlänge n einen Vektorraum bildet, nämlich einen Unterraum des Vektorraumes der \(n\!\times\!n\)-Matrizen. Da aber nicht davon ausgegangen werden kann, dass das Unterraumkriterium in der Schule thematisiert wird, wird hier eine Begründung gegeben, die lediglich von der Definition des Begriffs Vektorraum ausgeht.
- 12.
Die Begriffe „linear (un)abhängig“ treten in den Bildungsstandards der KMK(2012) und auch in den Lehrplänen einiger Bundesländer nicht auf. Stattdessen wird mitunter von kollinearen bzw. komplanaren Vektoren gesprochen (womit zwei bzw. drei linear abhängige Vektoren gemeint sind). Zumindest in der hier beschriebenen anschaulichen Weise kann jedoch auch problemlos von linear ab- bzw. unabhängigen Vektoren gesprochen werden.
- 13.
Genauer müsste davon gesprochen werden, dass ein den Vektor \(\vec{x}\) repräsentierender Pfeil eine Diagonale eines Parallelepipeds bildet, welches von Pfeilen aufgespannt wird, die Repräsentanten der Vektoren \(\lambda\vec{u}\), \(\mu\vec{v}\) und \(\nu\vec{w}\) sind. Vektoren verfügen nicht über eine Lage im Raum und können deshalb auch keinen Körper begrenzen. Um eine zu komplizierte Sprechweise zu vermeiden, wird dennoch gesagt, dass Vektoren ein Parallelogramm oder Parallelepiped aufspannen, wobei dann jeweils repräsentierende Pfeile gemeint sind.
- 14.
Außerdem können auf der Buch-Internetseite sowohl GeoGebra- als auch Maxima-Dateien mit allen im Folgenden besprochenen Beispielen heruntergeladen werden.
- 15.
Leider wird hiermit sprachlich der Vektor-Pfeil-Identifikation Vorschub geleistet, was wir aus didaktischer Sicht für unglücklich halten.
- 16.
Vektoren lassen sich auch mit anderer Syntax als Listen oder einspaltige Matrizen eingeben, die auch im CAS-Fenster in Spaltenform erscheinen, siehe Abschn. 6.1.3. Allerdings könnte es verwirren, wenn man für die Eingabe von Vektoren nicht den Vektor-Befehl verwenden soll.
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Henn, HW., Filler, A. (2015). Der Vektorbegriff. In: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43435-2_3
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