Zusammenfassung
Ein genügend kleines Flächenstück läßt stets längentreue Formänderungen zu. Anders ist es bei Flächen in ihrer Gesamterstreckung, wenigstens, sobald wir an unseren früheren RegularitätsVoraussetzungen festhalten. So hat schon 1838 F. Minding als Vermutung ausgesprochen1, daß die Kugelfläche als Ganzes „starr“ ist. Aber erst 1899 hat H. Liebmann diese Behauptung begründen können2. Auf die allgemeinen Sätze, die damals H. Minkowski schon gefunden, aber noch nicht veröffentlicht hatte, kommen wir später zurück. Da nach Gausz bei längentreuen Abbildungen das Krümmungsmaß erhalten bleibt, läßt sich der Satz Liebmanns so fassen:
Die einzige geschlossene Fläche mit GAVSZschem festem Krümmungsmaß ist die Kugel.
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Referenzen
F. Minding: Über die Biegung krummer Flächen. Crelles J. Bd. 18, S. 365 bis 368, bes. S. 368. 1838.
H. Liebmann: Eine neue Eigenschaft der Kugel. Gött. Nachr. 1899, S. 44 bis 55. Der Beweisversuch von J. H. Jellet 1854 ist unzureichend.
D. Hilbert: Über Flächen von konstanter GAUSZscher Krümmung, abgedruckt in Hilberts Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., Anhang V. Leipzig und Berlin 1909.
H. Liebmann: Die Verbiegung von geschlossenen und offenen Flächen positiver Krümmung. Münch. Ber. 1919, S. 267–291. Vgl. ferner die Arbeiten: E. Rembs: Heidelberger Berichte 1927 (Bew. des Satzes f. d. punktierte verlängerte Rotationsellipsoid). –A. Schur: Crelles Journal, Bd. 159 (1928) S. 82. — St. Cohn-Vossen: Gött. Nachr. 1927, S. 125. — W. Süsz: Japanese Journal of Math. (4) 1927, S. 203.
H. Liebmann: Über die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung. Math. Ann. Bd. 53, S. 81–112, 1900; bes. §6, S. 107.
H. Liebmann: Gött. Nachr. 1899. Math. Ann. Bd. 53.1900 und Bd. 54.1901. Für konvexe Polyeder hat A. Cauchy einen weitergehenden Satz bewiesen. J. de l’École polytechn. Bd. 9 (16). 1813; Œuvres (2) Bd. 1, S. 26–38.
W. Blaschke: Gött. Nachr. 1912, S. 607–610; Weyl, H.: Berliner Sitzungsberichte 1917, S. 250–266; W. Blaschke: Die Starrheit der Eiflächen. Math. Z. Bd. 9, S. 142–146. 1921. Vgl. auch den sehr einfachen Beweis bei A. Duschek: Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. 36, S. 131–134. 1929.
H. Weyl: Über die Bestimmung einer geschlossenen, konvexen Fläche durch ihr Linienelement. Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 61, S. 40 – 72. 1915. Ein neuer Beweis für einen Teil von Weyls Behauptungen findet sich bei St. Cohn-Vossen: Gött. Nachr. 1927. Herr Cohn-Vossen hat kürzlich auch gezeigt, daß es unstarre geschlossene Drehflächen gibt. Math. Ann. Bd. 102, S. 10–29. 1929.
Vgl. dazu die Angaben von Aufgabe 13 des § 60.
E. B. Christoffel: Über die Bestimmung der Gestalt einer krummen Fläche durch lokale Messungen auf derselben. Werke I, S. 162 –177. Leipzig und Berlin 1910. Vgl. auch A. Hurwitz: Sur quelques applications géometriques des séries de Fourier. Ann. de l’Ecole Normale (3) Bd. 19, S. 357–408. 1902.
Vgl. etwa E. Heine: Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., Leipzig 1881.
∫ V i V k dω= 0 für i≠k.
P. L. Tschebyscheff: Sur la coupe des vêtements. Œuvres II, S. 708. — A. Voss: Über ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflächen. Math. Ann. Bd. 19, S. 1 – 26. 1882. Vgl. auch die Arbeit von L. Bieberbach: Sitzungsber. Berliner Akad. 1926, S. 294–321.
Vgl. auch das Lehrbuch von L. Bianchi: Lezioni di geometria differenziale. 3. Aufl., I, S. 153 – 162. 1920. Dieses Lehrbuch, das auch in einer verkürzten deutschen Übersetzung erschienen ist, ist eines der bedeutendsten neueren Werke über Differentialgeometrie. Luigi Bianchi war durch lange Jahre Professor der Mathematik an der Universität und als Nachfolger Dinis Direktor der Scuola normale in Pisa (geb. in Parma 1856, gest. 1928). Er hat die Differentialgeometrie um eine Fülle schönster Ergebnisse bereichert, in Italien eine ausgedehnte mathematische Lehrtätigkeit entfaltet und Anregung zu einer großen Zahl wissenschaftlicher Arbeiten gegeben. Er hat Lehrbücher über sehr verschiedene mathematische Gebiete verfaßt. Dieser unermüdliche Gelehrte war gegen seine Mitmenschen und insbesondere gegen seine Schüler, zu denen sich auch der Verfasser zählen darf, von solcher hilfsbereiten Liebenswürdigkeit und trotz schwerer Lebensbedingungen von so heiterer Lebensart, daß er wohl kaum einen Feind hinterlassen hat. Vgl. die Nachrufe von G. Fubini: Bolletino Unione Mat. Italiana Bd. 7, 1928 und Annali di Mat. (4) Bd. 6, S. 45–83. 1928/29.
J. N. Hazzidakis: Über einige Eigenschaften der Flächen mit konstantem Krümmungsmaß. Crelles J. Bd. 88, S. 68–73. 1880.
E. Holmgren: Comptes Rendus Bd. 134, S. 740–743. 1902. Eine Kritik des Holmgrenschen Beweises findet sich bei L. Bieberbach, Acta Math. Bd. 48. 1926: „Huberts Satz über Flächen konstanter Krümmung“. In dieser Arbeit ist der Nachweis dafür erbracht, daß je zwei Asymptotenlinien verschiedener Scharen auf unsrer Fläche sich schneiden.
H. Poincaré: Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes. Am. Transactions Bd. 6, S. 237–274. 1905.
Man vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, Kap. IX, S. 419–433. Leipzig und Berlin 1909. Vgl. im folgenden § 101.
Man kann übrigens leicht sehen, daß v von der Wahl des Koordinatenursprungs nicht abhängt.
Es gibt stets geschlossene doppelpunktfreie Kurven auf unsrer Eifläche, für die der Vektor v = 0 ist. Die Kugel um o, die den Umfang einer solchen Kurve zum Halbmesser hat, liegt innerhalb von F.
Es wäre dabei z. B. die Differenzierbarkeit der Fläche F nachzuweisen.
G. D. Birkhoff: Dynamical systems with two degrees of freedom. Am. Transactions Bd. 18, S. 199 – 300. 1917. Neue Ergebnisse über geodätische Linien auf Eiflächen bei A. Speiser: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 56, S. 28–33. 1921.
G. Erdmann: Über unstetige Lösungen in der Variationsrechnung. Crelles J. Bd. 82, S. 21–30. 1877.
C. Carathéodory: Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung. Diss. Göttingen 1904, vgl. den Schluß S. 71.
Für v = konst. bekommt man hieraus die Formel § 90, Aufg. 1.
G. A. Bliss: Jacobis condition..., Am. Transactions Bd. 17, S. 195 bis 206. 1916.
Vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Varlationsrechnung, S. 82 – 87. Leipzig 1909. Ein einfacher Beweis für die Bedingung Jacobis im Fall der geodätischen Linien findet sich bei G. Darboux: Surfaces III, S. 97. 1894.
C. G. J. Jacobi: Zur Theorie der Variationsrechnung. Werke IV, S. 39 – 55p.
G. Darboux: Surfaces III, S. 86–88.
J. C. F. Sturm: Mémoire sur les équations différentielles du second ordre. Journ. Liouville Bd. 1, S. 131. 1836.
O. Bonnet: Comptes Rendus Bd. 40, S. 1311–1313. 1855.
Man vgl.,etwa W. Blaschke: Kreis und Kugel, S. 119. Leipzig 1916.
Literaturangaben bei O. Bolza: Variationsrechnung, 9. Kap., S. 419.
D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., §23, S. 72 u. f. Leipzig und Berlin 1909.
Bei den Ausführungen dieses Abschnitts hat sich der Verfasser mehrfach auf mündliche Mitteilungen seines verehrten Kollegen J. Radon stützen können. Vgl. im folgenden § 104 Aufgabe 15.
Nach einer brieflichen Mitteilung von 1925 an den Verfasser.
Auf diese für die Kreise auf der Kugel gültige Konfiguration hat zuerst A. Miquel hingewiesen: Théorèmes de géométrie. Liouvilles Journal Bd. 3 (1838), S. 517.
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Blaschke, W. (1930). Fragen der Flächentheorie im Großen. In: Thomsen, G. (eds) Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-42943-3_8
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