Zusammenfassung
Cantor 1 hat den Begriff der Menge folgendermaßen definiert:
Eine Menge2 ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens — welche die Elemente der Menge genannt werden — zu einem Gazen.
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Referenzen
Cantor [12 I], S. 481; vgl. auch schon [7 III], S. 114 f., und [7 V], S. 587. Cantor verwendet übrigens in der älteren Zeit vorzugsweise die Bezeichnungen „Mannichfaltigkeit” und „Mannichfaltigkeitslehre”. Der französische Ausdruck, der weniger als der auch quantitativ auffaßbare deutsche für Mißverständnisse Raum läßt, ist „ensemble”, der englische „class” oder „aggregate” oder auch (besonders bei Punktmengen) „set”.
Die nachstehend gesperrt gedruckten Bezeichnungen werden im Lauf der späteren Betrachtungen noch öfters benutzt. Das am Schluß stehende Sachregister gibt zu jeder dieser Bezeichnungen die Stelle an, wo sie erklärt ist.
Diese Beispiele stellen nicht einen Teil des logischen Gebäudes dar, das wir uns schrittweise aufrichten wollen, sondern dienen nur der Verdeutlichung des Mengenbegriffs; daher wird in diesen Beispielen mehr Wert auf Anschaulichkeit als auf logische Strenge gelegt. Der geübtere Leser wird sich mit den nachfolgenden Beispielen nur ganz flüchtig zu befassen brauchen.
Nebenbei werde bemerkt, daß auch bei einer einzigen Frucht (oder überhaupt einem einzigen Element) von der Menge gesprochen werden kann, die diese Frucht enthält ; diese Menge, ein abstrakter Begriff, kann logisch und daher auch mathematisch von der konkreten Frucht unterschieden werden (vgl. auch S. 21, Fußnote 3).
Die (freilich auf viel ältere Ideen zurückgehende) Betrachtung stammt wohl wesentlich aus E. E. Kummers Vorlesungen und aus Kurd Lasswitz’ „Traum-kroistallen”; vgl. dazu z. B. Fürst-Moszkowski, Das Buch der 1000 Wunder (München), Nr. 150, und Hausdorff [3], S. 61 f.
Die aus den Elementen der Arithmetik geläufigen einfachsten Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,..., besonders auch das Rechnen mit ihnen, werden nicht nur zwecks Bildung von Beispielen als bekannt vorausgesetzt, sondern auch öfters systematisch als Beweishilfsmittel herangezogen. Die grundsätzliche Seite dieses Verfahrens wird auf S. 183 und im § 18 besprochen werden.
Hier und da immer wieder auftretenden, anscheinend unausrottbaren Mißverständnissen gegenüber werde scharf hervorgehoben, daß dieses „Unendlich” der Menge aller ganzen Zahlen nichts zu tun hat mit einem vermeintlichen Unendlichwerden der Elemente, d. h. der ganzen Zahlen, die vielmehr alle endlich sind. Die Menge der Brüche 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 usw. stellt ja im gleichen Sinn wie die oben betrachtete Menge ein Unendlich dar!
Näher betrachtet, liegt das letzten Endes daran, daß zur Umfangsbestimmung einer „großen” endlichen Menge viele Schritte — abhängig von der Zahl der Elemente — erforderlich sind, während bei einer unendlichen Menge der oben geschilderten Art dafür der einheitliche, wenn auch viel tiefer liegende Schritt der „vollständigen Induktion” (vgl. Ende des § 11) eintritt.
Vgl. die anschaulichen „Modelle” des (dort potentiell verstandenen) Unendlich mittels „transfiniter Iteration” bei Becker [2], S. 99ff. (wo auch weitere Literaturhinweise zu finden sind), sowie die — sicherlich nicht durch mathematische Erwägungen veranlaßte — Verwendung des nämlichen Gedankens an entscheidender Stelle des holländischen Romans von C. und M. Scharten-Antink: De jeugd van Francesco Campana (S. 111 ff.). Die wissenschaftliche Bedeutung derartiger Modelle dürfte freilich von Becker überschätzt werden.
Tiefergehende Bemerkungen über diese Beziehung zwischen Zahlen und Punkten, deren Grundlagen im. obigen Text noch nicht in voller Strenge auseinandergesetzt sind, findet man zu Beginn des § 10 (S. 143).
Für den Beweis dieser Behauptung vgl. S. 148.
Die bekanntesten dieser transzendenten Zahlen sind die bei der Berechnung des Kreisumfangs und -inhalts vorkommende Zahl π = 3,14159... und die Basis e der natürlichen Logarithmen. Als Cantor [5] 1874 die Menge aller transzendenten Zahlen betrachtete und Eigenschaften von größter Wichtigkeit für sie bewies (vgl. nachstehend S. 54), war noch unbekannt, ob π eine transzendente Zahl ist und somit jener Menge als Element angehört; die entsprechende Feststellung für e datiert aus eben jenem Jahre.
Für Freunde philologischer Kritik sei im Hinblick auf den doppelsinnigen Gebrauch der Endung auf „ung” bemerkt, daß natürlich nicht der Akt des Zusammenfassens, sondern das Ergebnis dieses Aktes gemeint ist.
Russell ([5], Kap. 17) verficht die Auffassung, daß die Mengen nicht eigentliche „Objekte”, sondern „logische Fiktionen” oder „unvollständige Symbole” sind; dabei ist indes „Fiktion” keineswegs im Sinn von „mit einem Widerspruch behaftet” zu verstehen (vgl. § 15).
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten spielt hier also eine wesentliche Rolle, insofern als bei gegebener Menge M für jedes Objekt a eine der beiden Möglichkeiten „a ist Element von M” und „a ist nicht Element von M’’ zutreffen soll, ein Drittes aber ausgeschlossen bleibt. Von den in diesem Absatz angeschnittenen Prinzipienfragen wird in den §§ 13 ff. noch die Rede sein.
Siehe z. B. Katz [1], bes. S. 31—33, und Weber-Epstein [1], S. 1–18, wo auch weitere Literaturangaben zu finden sind.
Die nächsten Betrachtungen können von dem weniger geübten Leser bei der erstmaligen Lektüre überschlagen werden. Allgemein wird in diesem Buch — vor allem in den ersten Abschnitten, während deren Durcharbeitung sich der Leser von selbst eine gewisse Übung aneignen wird — durch kleineren Druck gewisser Stellen stets angedeutet, daß die betreffenden Betrachtungen von etwas schwierigerer Natur sind und vom Leser beiseite gelassen werden können, ohne daß dadurch das Verständnis der späteren Überlegungen merklich beeinträchtigt wird. 1 Unter „Funktion” wird auch ohne weitere Hinzufügung immer „eindeutige Funktion” verstanden, d. h. eine solche, die jedem Argumentwert nur einen ein-zigen Funktionswert zuordnet.
Die „Nullklasse’4 ist zunächst von den Vertretern der Logistik (vgl. § 15) verwendet, dann aber als Nullmenge von Zermelo und anderen systematisch in der Mengenlehre benutzt worden.
Eine Verwechselung zwischen der Zahl 0 und der Nullmenge 0 wird nicht auftreten können, auch da nicht, wo (wie z. B. auf S. 70) das Zeichen 0 bald nacheinander in der einen und in der anderen Bedeutung vorkommt.
3* Man kann sich diese Festsetzung so plausibel machen: Faßt man von den Elementen einer gegebenen Menge M diejenigen zusammen, die eine gewisse Eigenschaft besitzen, so entsteht eine Teilmenge von M. Ist die Eigenschaft speziell von solcher Art, daß kein Element von M sie besitzt, so wird die entstehende Teilmenge zur Nullmenge; dagegen entsteht eine Teilmenge mit einem einzigen Element, wenn die Eigenschaft nur diesem allein zukommt.
Die derart (in diesem wie in vielen anderen Punkten) orientierten, durch die „Philosophie des Als-Ob” irregeleiteten Auffassungen erfahren eine bündige Widerlegung bei Study [1 2 ] und Betsch [1].
In einer Theorie der Farben könnte z. B., je nachdem es für den beabsichtigten Zweck einfacher ist, Weiß entweder als „Farbe” aufzufassen sein oder nicht.
Für nähere Ausführung dieses und verwandter, der Arithmetik zugehöriger Punkte vergleiche man z. B. Weber-Epstein [1], S. 11; Holder [2], S. 15; Loewy [1], S. 384.
Noch paradoxer erscheint die Äquivalenz zweier anscheinend sehr umfangs-verschiedener unendlicher Mengen, wenn man sie scheinbar ins praktische Leben überträgt; das sich dabei einstellende unbehagliche Gefühl löst sich, wenn man sich klar macht, daß die Wirklichkeit eben nur eine scheinbare ist und darauf unser Empfinden nicht geeicht ist. Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa „abzahlbar unendlichviele” Jahre in der Ausdrucksweise des nächsten Paragraphen), so würde seine Biographie „fertig”; es würde dann nämlich, genauer ausgedrückt, jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung bekommen, weil das für diese Arbeit an die Reihe kommende Jahr eben irgend einmal in seinem Leben erschiene. (Vgl. die Zuordnungen auf S. 29 ff.)
Russell (vgl. z. B. [5]) zieht mit Nutzen zwei verschiedene Bezeichnungsarten heran: er nennt Mengen, die im naiven Sinn endlich sind, „induktiv” (aus einem auf S. 181 zu berührenden Grund), dagegen Mengen, die im Sinn Dedekinds unendlich sind, „reflexiv”, und unterscheidet demgemäß induktive, nicht-induktive, nicht-reflexive und reflexive Mengen, was trotz der Darlegungen der nächsten Absätze seinen guten Sinn hat (vgl. S. 299).
Auch die Nullmenge, die überhaupt keine eigentliche Teilmenge besitzt, gilt nach Definition 3 (ebenso wie nach unserer früheren Festsetzung) als endliche Menge.
Die (von dem Anfänger nicht weiter zu beachtende) stillschweigende Voraussetzung einer solchen Herleitung ist freilich, daß es zu jeder Menge überhaupt eine äquivalente gibt, und diese Voraussetzung macht das formale Verfahren im vorliegenden Fall praktisch wertlos; nicht aber in anderen entsprechenden Fällen.
Zuweilen werden auch die endlichen Mengen als abzählbar bezeichnet und es wird dann im Gegensatz zu ihnen von „abzählbar unendlichen” Mengen gesprochen. Wir bleiben der Kürze halber bei der obigen Ausdrucksweise.
Vgl. hierzu die Fußnote von S. 7.
Wir haben in diesem Buch niemals Anlaß, uns mit imaginären oder komplexen Zahlen zu befassen, und werden daher von der hervorhebenden Bezeichnung „reell” in der Regel absehen.
Vielleicht ist es nicht überflüssig zu bemerken, daß der Beweis — ebenso wie der für die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen — auf vielen ähnlichen und gleichwertigen Wegen erbracht werden kann. Bei der Einführung der Höhe einer algebraischen Gleichung kommt es nicht etwa auf den Wert gerade dieser Zahl an, sondern nur auf ein Prinzip, das die Abzählung der zunächst (z. B. in der Algebra) in ganz anderer Klassifizierung sich darbietenden Gleichungen gestattet.
Für die strenge Begründung des Wesens der Dezimalbrüche und ihrer in diesem Absatz angeführten Eigenschaften vgl. z. B. die Darstellung bei Weber-Epstein [1] (S. 106ff.) oder bei Loewy [1] (S. 84ff.); man findet in diesen Werken (ebenso z. B. im ersten Kapitel von Knopp [1]) auch eine scharfe Entwicklung des in dem vorliegenden Buch nicht erörterten Begriffs der reellen Zahl, den wir im oben angeführten Sinn einfach mit dem naiven Begriff des unendlichen Dezimalbruchs identifizieren.
Vgl. Cantor [11]; in dieser Form ist der Beweis wohl am übersichtlichsten und auch am bequemsten zur Verallgemeinerung geeignet (vgl. S. 62 f. und 68 f.). Von anderen Beweisen dieses Satzes, die übrigens im Kern sich des nämlichen Grundgedankens (aber ohne Zuhilfenahme der Dezimalbrüche) bedienen, seien der historisch erste Beweis (Cantor [5], aus dem Jahre 1873 stammend, vereinfacht in [71]) und der Beweis von Poincaré [4] genannt.
Die hier auftretenden Pfeile werden alsbald ihre Erklärung finden, sind aber vorläufig als bedeutungslos anzusehen.
Vgl. die im besten Sinn des Wortes populäre Darstellung in Hessenbergs Rede [11].
Etwas allgemeiner kann man so unter den „Kardinalzahlen” ein System S von Zeichen derart verstehen, daß jeder Menge M eindeutig ein bestimmtes Zeichen aus S (als „Kardinalzahl von M”) entspricht und daß verschiedenen Mengen dann und nur dann das nämliche Zeichen entspricht, wenn die Mengen äquivalent sind. Die in dieser Regel enthaltene Definition der Gleichheit zwischen Kardinalzahlen erweist sich, wie auf S. 65 und durch die Sätze 1 und 3 des § 7 dargetan wird, auch als brauchbar im Hinblick auf die spätere Einführung von Relationen und Operationen zwischen Kardinalzahlen.
In diesem Zusammenhang ist die Entwicklung hervorhebenswert, die sich im Laufe der Zeiten in der Logik hinsichtlich der Lehre von der Definition vollzogen hat (Rickert, Cassirer u. a.) und die, nicht unähnlich den Tendenzen der Mathematik, die funktionalen oder relationalen Verknüpfungen der zu definierenden Begriffe in den Vordergrund gerückt hat auf Kosten der Tendenz, die Begriffe gewissermaßen der „ Substanz” zu entnehmen (wie etwa bei der Definition nach Aristoteles durch genus proximum und differentia specifica). Man vergleiche etwa Cassirer [2] sowie Schlick [1], S. 23ff. und 32ff.
Es gibt jedenfalls solche Mengen F 0, wie soeben erwähnt.
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Fraenkel, A. (1928). Grundlagen. Begriff der Kardinalzahl. In: Einleitung in die Mengenlehre. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 9 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-42029-4_2
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