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Potenzreihen

  • Konrad Knopp
Chapter
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 2)

Zusammenfassung

Die Glieder der Reihen, die wir bisher betrachtet haben, waren im allgemeinen wohlbestimmte Zahlen. Man spricht daher wohl schärfer von Reihen mit konstanten Gliedern. Indessen war das doch nicht durchweg der Fall. Bei der geometrischen Reihe Σa n z. B. sind die Glieder erst dann bestimmte Zahlen, wenn der Wert der Größe a gegeben wird. Die Konvergenzuntersuchung dieser Reihe endete daher auch nicht einfach mit der Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz, sondern ihr Ergebnis lautete: Σa n ist konvergent, falls | a | < 1 ist, dagegen divergent, falls | a | ≧ 1 ist. Die Entscheidung der Konvergenzfrage hängt also, wie die Reihenglieder selbst, von dem Wert einer noch nicht festgelegten Größe, einer Veränderlichen ab. Reihen, deren Glieder und bei denen somit das Konvergenzverhalten noch von einer veränderlichen Größe abhängt — wir werden eine solche dann meist mit x bezeichnen und von Reihen mit veränderlichen Gliedern sprechen1) —, werden wir später genauer untersuchen. Für den Augenblick wollen wir, im Anschluß an die geometrische Reihe, nur solche Reihen dieser Art betrachten, deren allgemeines Glied nicht eine Zahl a n ist, sondern die Gestalt
$${a_n}{x^n}$$
hat, also Reihen der Form
$${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots {a_n}{x^n} + \cdots \equiv \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}{\cdot ^2})} $$

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Literatur

  1. 1).
    Brook Taylor: Methodus incrementorutn directa et inversa, London 1715. Vgl. dazu A. Pringsheim Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes, Bibl. mathem., (3) Bd. 1, S. 433, 1900.Google Scholar
  2. 2).
    Rekursionsformeln zur Berechnung der \(a_n^{(k)} \) findet man bei J. W. L. Glaisher, Note on Sylvesters paper: Development of an idea of Eisenstein (Quarterly Journal, Bd. 14, S. 79–84. 1875), in dem sich auch weitere Literaturangaben finden. Ferner beiGoogle Scholar
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    Die allgemeinen Werte der Entwicklungskoeffizienten b n findet man bis zu b 13 ausgerechnet bei C. E. van Orstrand, Reversion of power series, Philos. Magazine, (6) Bd. 19, S. 366, 1910.CrossRefzbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • Konrad Knopp
    • 1
  1. 1.Universität KönigsbergRussland

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