Advertisement

Reihen mit beliebigen Gliedern

  • Konrad Knopp
Chapter
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 2)

Zusammenfassung

Während es bei den Reihen mit positiven Gliedern möglich war, die Untersuchung ihres Konvergenzverhaltens einigermaßen zu systematisieren, muß man bei Reihen mit beliebigen Gliedern fast ganz darauf verzichten. Der Grund hiervon ist weniger in einer ungenügenden Entwicklung der Theorie zu sehen als in der Sache selbst. Denn eine Reihe mit beliebigen Gliedern kann konvergent sein, ohne absolut zu konvergieren1). Ja, dieser Fall wird hier sogar der fast allein interessierende, denn die Feststellung der etwaigen absoluten Konvergenz kommt nach 85 doch auf die Untersuchung einer Reihe mit positiven Gliedern zurück. Wir brauchen daher hier nur den Fall zu betrachten, daß die Reihe entweder tatsächlich nicht absolut konvergiert oder ihre absolute Konvergenz mit den bisherigen Mitteln nicht erkannt werden kann. Konvergiert aber die Reihe nur bedingt, so hängt die Konvergenz nicht nur von der Größe der einzelnen Glieder ab, sondern wesentlich noch von der Art ihrer Aufeinanderfolge. Etwaige Vergleichskriterien dürfen sich also nicht nur, wie früher, auf die einzelnen Glieder beziehen, sondern müssen im wesentlichen die ganze Reihe in Betracht ziehen. Das bedeutet aber letzten Endes, daß jede Reihe für sich untersucht werden muß und sich also kein allgemeiner Zugang zu allen Reihen angeben läßt.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 2).
    Malmstén C. J.: Nova acta Upsaliensis (2) Bd. 12, S. 255. 1844.Google Scholar
  2. 2).
    Rom. Acc. Lincei Rend. (4) Bd. 4, S. 133. 1888. — Vgl. hierzu eine Note von G. H. Hardy, Messenger of Math. (2) Bd. 41, S. 17. 1911, und vonGoogle Scholar
  3. H. Rademacher, Math. Zeitschr. Bd. 11, S. 276–288. 1921.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  4. 1).
    J. f. d. reine u. angew. Math. Bd. 79, S. 182. 1875. — Eine Erweiterung des Satzes gab T. J. Stieltjes (Nouv. Annales (3), Bd. 6, S. 210. 1887).Google Scholar
  5. 2).
    Sätze der hier in Rede stehenden Art hat A. Pvingsheim (Math. Ann. Bd. 21, S. 340. 1883) bewiesen und im Anschluß an dessen ArbeitenGoogle Scholar
  6. A. Voß (ebenda Bd. 24, S. 42. 1884) undGoogle Scholar
  7. F. Cajori (Bull, of the Americ. Math. Soc. Bd. 8, S. 231. 1901/2, und Bd. 9, S. 188. 1902/3). — Vgl. auch § 66 des schon oft zitierten Werkes von A. Pringsheim, Vorlesung-en über Zahlen-und Funktionenlehre (Leipzig 1916). Wesentlich tiefer liegt eine Gruppe hierher gehöriger Sätze, von denenCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  8. G. H. Hardy (Proc. of the London Math. Soc. (2), Bd. 6, S. 410. 1908) einen besonders schönen bewiesen hat.CrossRefzbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • Konrad Knopp
    • 1
  1. 1.Universität KönigsbergRussland

Personalised recommendations