Beziehungen zwischen nichteuklidischen und euklidischen Maßbestimmungen

Zusammenfassung

Die Anwendbarkeit verschiedener nichteuklidischer Maßbestimmungen (harmonisches Maß, hyperbolisches Maß) in der Funktionentheorie ist einerseits darin begründet, daß diese Maße funktionentheoretische Invarianten sind; so bezeichnen wir jede Größe die sich gegenüber der Gruppe der konformen Abbildungen invariant verhält. Andererseits zeigt es sich bei verschiedenen Fragekomplexen, daß sich gewisse Erscheinungen gerade unter Anwendung von Begriffen der nichteuklidischen Geometrie scharf abgrenzen lassen; dies trifft z. B. bei der Charakterisierung verschiedener Extremaleigenschaften oft zu. Die Einführung solcher Maßbestimmungen liegt also durchaus in der Natur der Sache und es scheint deshalb von Bedeutung zu sein, die Theorie dieser Maße systematisch aufzubauen, ohne sich sogleich um die Frage zu kümmern, wie sich diese Maßbestimmungen zu den gewöhnlichen Maßen (euklidischen oder sphärischen) verhalten.