Zusammenfassung
Ein genügend kleines Flächenstück läßt stets längentreue Form- änderungen zu. Anders ist es bei Flächen in ihrer Gesamterstreckung, wenigstens, sobald wir an unseren früheren Regularitätsvoraussetzungen festhalten. So hat schon 1838 F. Minding als Vermutung ausgesprochen1), daß die Kugelfläche als Ganzes „starr“ ist. Aber erst 1899 hat H. Liebmann diese Behauptung begründen können2). Auf die allgemeinen Sätze, die damals H. Minkowski schon gefunden, aber noch nicht veröffentlicht hatte, kommen wir später zurück. Da nach Gauß bei längentreuen Abbildungen das Krümmungsmaß erhalten bleibt, läßt sich der Satz Liebmanns so fassen:
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Die einzige geschlossene Fläche mit festem Gaußischen Krümmungs-maß ist die Kugel.
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Referenzen
F. Minding: Über die Biegung krummer Flächen, Crelles Journal 18 (1838), S. 365–368, bes. S. 368.
H. Liebmann: Eine neue Eigenschaft der Kugel, Göttinger Nachrichten 1899, S. 44–55. Der Beweisversuch von J. H. Jellet 1854 ist unzureichend.
D. Hilbert: Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmunig, abgedrucktin Hilberts Grundlagen der Geometrie. 3. Aufl., Leipzig und Berlin 1909, Anhang V.
H. Liebmann: Die Verbiegung von geschlossenen und offenen Flächen positiver Krümmung, Münchener Berichte 1919, S. 267–291.
H. Liebmann: Über die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung. Math. Annalen 53 (1900), S. 81–112; bes. § 6, S. 107.
H. Liebmann: Göttinger Nachrichten 1899. Math. Annalen 53 (1900) und 54 (1901).
W. Blasckke: Göttinger Nachrichten 191?, S. 607–610; H. Weyl: Berliner Sitzungsberichte 1917, S. 250–266.
W. Blasckke: Die Starrheit der Ei-flächen. Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 142–146.
H. Weyl: Über die Bestimmung einer geschlossenen, konvexen Fläche durch ihr Linienelement. Vierteljahrsschrift, der naturforschenden Gesellschaft in Zürich 61 (1915), S. 40 bis 72.
Vgl. dazu die Angaben von Aufgabe 13 des § 51.
E. B. Christoffel: Über die Bestimmung der Gestalt einer krummen Fläche durch lokale Messungen auf derselben. Werke I. Leipzig und Berlin 1910. S. 162–177.
Vgl. auch A. Hurwitz: Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier, École Normale (3) 19 (1902), S. 357–408.
Vgl. etwa E. Heine: Handbuch der Kugelfunktionen. 2. Aufl., Leipzig 1881.
P.L. Tschebyscheff: Sur la coupe des vêtements, Oeuvres II, S. 708. A. Voß:. Über ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflächen, Mathem. Annalen 19 (1882), S. 1–26.
L. Bianchi: Lezioni di geometria differenziale. 3. Aufl. 1920. I., S. 153–162.
J.N. Hazzidakis: Über einige Eigenschaften der Flächen mit konstantem Krümmungsmaß, Grelle 88 (1880), S. 68–73.
E. Holmgren: Paris, Comptes Rendus 134 (1902), S. 740–743.
H. Poincaré: Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes, Americ. Transaction 6 (1905), S. 237–274.
Man vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung. Leipzig und Berlin 1909, Kap. IX, S. 419–433. Vgl. im folgenden § 85.
Man kann Übrigens leicht sehen, daß o Ton der Wahl des Koordinaten-ursprungs nicht abfängt.
Es wäre dabei z. B. die Differenzierbarkeit der Fläche F nachzuweisen.
G.D. Birkhoff: Dynamical systems with two degrees of freedom, American Transactions 18 (1917), S. 199–300.
Neue Ergebnisse über geodätische Linien auf Eiflächen bei A. Speiser, Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich 56 (1921), S. 28–33.
G. Erdmann: Über unstetige Lösungen in der Variationsrechnung, Crelles Journal 82 (1877), S. 21–30.
C. Carathéodory: Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung, Dissertation Göttingen 1904, vgl. den Schluß S. 71.
Für v = konst. bekommt man hieraus die Formel § 74, Aufg. 1
G. A. Bliss: Jacobis condition . . ., American Transactions 17 (1916), S. 195–206.
Vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, Leipzig 1909, S. 82–87.
Ein einfacher Beweis für die Bedingung Jacobis im Fall der geodätischen Linien findet sich bei G. Darboux, Surfaces III (1894), S. 97.
C. G. J. Jacobi: Zur Theorie der Variationsrechnung, Werke IV, S. 39–55.
G. Darboux: Surfaces III, S. 86–88.
J. C. F. Sturm: Mémoire sur les équations différentielles du second ordre. Journal Liouville 1 (1836), S. 131.
O. Bonnet: Comptes rendus, Paris 40 (1855), S. 1311–1318.
Man vgl. etwa W. Blaschke: Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 119.
Literaturangaben bei O. Bolza: Variationsrechnung, 9. Kapitel, S. 419.
D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. §23, S. 72 u. f. Leipzig und Berlin 1909.
Bei den Ausführungen dieses Abschnitts hat sich der Verfasser mehrfach auf mündliche Mitteilungen seines verehrten Kollegen J. Raden stützen können. Vgl. im folgenden § 88, Aufgabe 15 und den Anhang §§ 116–117.
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Blaschke, W., Reidemeister, K. (1924). Fragen der Flächentheorie im Großen. In: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38408-4_5
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