Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll der Grundgedanke von Gaußens flächentheoretischen Untersuchungen auseinandergesetzt werden. Denkt man sich eine Fläche aus einem biegsamen, undehnbaren Stoff hergestellt, wie er etwa durch Papier verwirklicht wird, so läßt diese Fläche außer ihrer Beweglichkeit als starrer Körper im allgemeinen auch noch Formänderungen, sogenannte „Verbiegungen“ zu. Die Undehn-barkeit äußert sich dadurch, daß die Bogenlängen aller auf der Fläche gezogenen Kurven bei der Verbiegung ungeändert bleiben. Etwas allgemeiner bezeichnet man als „längentreue“ oder „isometrische Abbildung“ zweier Flächen aufeinander eine Transformation mit Erhaltung der Längen.
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Referenzen
H. Lebesgue: Paris C. R. 128, 1899, S. 1502–1505. Die Tangentenflächen der isotropen Kurven (§ 19) sind nicht „abwickelbar“.
F. Minding: „Bemerkung über die Abwicklung ...“, Crelles Journal 6 (1830), S. 159; J. Liouville in Monges „Application ...“ (1850), S. 568 unten.
Das Wort „Linienelement“ oder „Bogenelement“ wird in zwei verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Während sonst immer die erste Grundform der Flächentheorie darunter zu verstehen ist, ist hier ein Punkt mit hindurchgehender Richtung gemeint.
Die Bedingung des Einbettens ist nahe verwandt mit der sogenannten Bedingung Jacobis, auf die wir später (§ 83) zu sprechen kommen werden.
Auf die Frage, in welchem Umkreis um o diese geodätischen Polar koordinaten brauchbar sind, kommen wir später zu sprechen (§ 85).
Vgl. G. Monge: Application ..., 5. Aufl. 1850, 4. Note, S. 583–588.
Diguet: Journal de Mathématiques (1) 13 (1848), S. 83–86.
Vgl. etwa G. Scheffers: Theorie der Flächen, 2. Aufl., Leipzig 1913, S. 139 ff., bzw. die Figur S. 141.
H. Poincaré: Acta mathematica 1, 1882, S. 1–62.
O. Bonnet: Journal de l’Ecole Polytechnique 19 (1848), S. 131.
E. Beltrami: Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea, 1868, Werke I, S. 374–405.
Trägt man Bedenken, die Formel (12) von § 22 hier anzuwenden, da sie nur für geradlinige Verrückungen abgeleitet wurde, so kann man die folgende Formel (104) etwa auch so finden, daß man von einer Parameter-darstellung der Fläche ausgeht.
Für den Fall der ebenen Geometrie ist das ja die bekannte Beziehung zwischen Evolute und Evolvente von § 18 (Fadenkonstruktion).
Nach G. Darboux stammen diese Sätze von Jacobi. Vgl. Darboux: Surfaces III, S. 87.
Vgl. H. Poincarê: American Transactions 6 (1905), S. 241.
E. Beltrami: Ricerche di analisi applicata alla geometria, Opere I, S. 107–198. Besonders Nr. XIV und XV.
G. Darboux: Théorie des surfaces, III. 1894, S. 151.
Die Bedingung reicht aber durchaus nicht hin. Trägt man z. B. auf den Tangenten einer Schraubenlinie gleiche Längen ab, so bilden die Endpunkte auf der Tangentenfläche einen offenen Krümmungskreis.
Die Entwicklungen dieses Abschnitts.; sind einer vom Verfasser veranlagten Arbeit von B. Baute entnommen, auf die später noch zurückgekommen werden soll: Über Kreise und Kugeln im Riemannschen Raum I, Math. Annalen 83 (1921), S. 286–310.
Wegen der Literatur über diesen Gegenstand vgl. man L. Lichtenstein: Zur Theorie der konformen Abbildung . . ., Bulletin de l’académie de Cracovie 1916. S. 192–217.
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Blaschke, W., Reidemeister, K. (1924). Geometrie auf einer Fläche. In: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38408-4_4
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