Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme

  • R. Courant
  • D. Hilbert
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 12)

Zusammenfassung

Schon im vorigen Kapitel haben wir auf den engen Zusammenhang zwischen dem Eigenwertproblem einer Differentialgleichung und dem einer quadratischen Form hingewiesen. Die Eigenwertprobleme unserer Differentialgleichungen sind geradezu äquivalent mit dem Problem der Hauptachsentransformation einer quadratischen Form, allerdings einer von unendlich vielen Variablen. Bedeutet nämlich z.B. , die potentielle bzw. die kinetische Energie eines eindimensionalen Kontinuums, so brauchen wir nur den Ansatz zu machen, p und ϱ in eine Fouriersche Reihe entwickelt zu denken und die beiden Ausdrücke U und T als quadratische Formen der unendlich vielen Variablen f v bzw. v zu betrachten. Wenn es gelingt, eine solche orthogonale Substitution
dieser Variablen in neue q μ bzw. so zu bestimmen, daß dabei die Formen U und T in die Gestalt
übergehen, so werden die Zahlen λ v gerade die Eigenwerte unseres Schwingungsproblems. Da nun die Eigenwerte einer quadratischen Form durch einfache Extremaleigenschaften charakterisiert sind, so liegt es nahe, diese Charakterisierung auch hier in Betracht zu ziehen, wo es sich nicht mehr um endlich viele Variable handelt. Anstatt aber die Grenzübergänge und Konvergenzuntersuchungen durchzuführen, die zu einer strengen Begründung dieser heuristischen Gedanken erforderlich wären, ziehen wir es vor, ohne einen Übergang zu einer Darstellung durch Koordinaten mit Hilfe der allgemeinen Methoden der Variationsrechnung die fraglichen Extremumseigenschaften direkt zu formulieren und auszunutzen.

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Literatur zum sechsten Kapitel

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • R. Courant
    • 1
  • D. Hilbert
    • 1
  1. 1.Universität GöttingenGöttingenDeutschland

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