Der Satz von Riemann-Roch für algebraische Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Wir werden im folgenden komplex-analytische Vektorraum-Bündel über einer komplexen Mannigfaltigkeit V betrachten. Ein solches Vektorraum-Bündel ist zu einem wohlbestimmten komplexanalytischen GL(q, C)-Bündel assoziiert. Die Cohomologiegruppen von V mit Koeffizienten in der Garbe Ω(W) der Keime von lokalen holomorphen Schnitten von W (vgl. 3.5) sollen der Kürze halber mit H ⁱ(V, W) bezeichnet werden. Wir werden zeigen, daß sie verschwinden, wenn i größer als die komplexe Dimension von V ist. Die H ⁱ(V, W) sind komplexe Vektorräume. Wir werden sehen, daß H ⁱ(V, W) für kompaktes V endlich-dimensional über C ist. Isomorphe Vektorraum-Bündel W, W̃ haben offenbar isomorphe Garben Ω(W), Ω(W̃) und isomorphe Cohomologiegruppen¹).