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Referenzen
Nr. IV ist auch von Thureau-Dangin RA 29, 62 zitiert worden.
Figuren s. im Kommentar bzw. Teil II, Tafeln I.
Zählung der Abschnitte wie bei Gadd RA 19.
Gadd liest weiter „PA (?) LUGAL (?)“ und übersetzt „4 royal crowns, 1 royal (?)“.
So glaube ich mit einiger Wahrscheinlichkeit (nach Photographie) lesen zu können.
„Legen“ (nadû) in diesem Text immer auch durch „zeichnen“ übersetzbar. Vgl. für diese Bedeutung Jensen, KB 6, 1, 232 Zeile 57 u. 60, sowie Ungnad, Privaturk. 23 b, Anm. 2 (freundlicher Hinweis von Thureau-Dangin).
Für emêdu „herankommen“ s. Jensen MVG 30 (Schott) 91, Anm. 1 (freundl. Hinweis von A. Schott).
Vgl. Kugler SSB 274 b. Für die Segmente der Figur 14 würde ich an sich eher den Terminus UD-SAK = asqaru erwarten (vgl. Kugler SSB 279 b, Thureau-Dangin RA 29, 27).
Der in der Figur sichtbare Winkel ist in Wirklichkeit (s. Photographie) kaum merklich größer als 60°. Gadds Zeichnung ist hier sehr ungenau.
Für die Hippokrates-Quadraturen vgl. F. Rudio, Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates, Leipzig, Teubner 1907 (= Urkunden zur Geschichte der Mathematik im Altertume 1. Heft).
Auch in der alt-indischen Mathematik sind ähnliche Quadratteilungen (wenn auch zu ganz anderem Zweck) bekannt. Vgl. Datta, The Hindu contributions to mathematics, Bulletin of the Mathematical Association, University of Allahabad, Vol. I & II (1927–29).
So ist zu lesen gegen die Autographie in CT IX (s. Photographie).
Diese Lesung scheint mir einigermaßen wahrscheinlich zu sein. Der Horizontalkeil am Schluß, den die Autographie in CT IX gibt, müßte dann als zu weit nach links gezogener Teilungsstrich der Nachbarkolumne angesehen werden (vgl. die Photographie).
Irrtümliche Wiederholung (in diesem Text nicht selten).
Vgl. Anm. 40 S. 169.
Schreibfehler für íb-si8?
Wohl Schreibfehler (für dah-ha?).
Mit Ungnad ZA 31, 264 Anm. 8 ist das „bi“ des Textes in ta verbessert.
Waschow AfO 8, 217 ergänzt [sig4 šak]-na-at, was mir aber grammatisch nicht einwandfrei erscheint.
Diese Ergänzung paßt sehr gut zu den Zeichenspuren, impliziert aber vom Standpunkt der allgemeinen „Formel“ die Annahme eines Interpretationsfehlers: 4 = 22 statt 4 = 2·2. Dieser Fehler tritt aber auch z. B. Rs. I, 34 auf.
Für diese Zeichenform vgl. Fossey MA 2, 11197.
Es steht vermutlich das irrtümliche 1,6,40 (statt 1,6,15) da, mit einer etwas verzerrten 40 (Rand!).
Es sieht aus wie 2, ist aber wohl nur dadurch doppelt eingedrückt, daß das Zeichen gerade am Rand steht.
Die 4 Winkelhaken der Autographie nach zi sind nach Photogr. zu streichen.
Wie hier zu lesen ist, weiß ich nicht. Statt im-hu-... wäre auch ḫi-ri-... möglich. Die letzten Zeichen könnten U-I oder MI od. dgl. sein. Da es sich doch wohl sicher um das Praeteritum eines Verbums handelt, könnte man etwa an eine Form im-hu-uṣ denken; aber Praet. v. maḫâṣu heißt imḫaṣ (für maḫâṣu „weben“ s. Bezold, BAG 168 b).
Das ás ist wie ma geschrieben. — Zu e-pa-ra-ás für i-pa-ra-as (vgl. Zeile 50) s. a. Thureau-Dangin SA, 25 Nr. 141.
Thureau-Dangin (RA 29, 190) bezeichnet diesen Lautwert von AZ mit uz 4. Diese Bezeichnung ist aber schon durch Deimel ŠL 372 a besetzt.
Diese Ergänzung nach Thureau-Dangin RA 29, 140.
Thureau-Dangin schreibt für diesen Lautwert von AZ (offenbar in Analogie zu seiner Bezeichnung uz 4) uṣ 4. Mit Rücksicht auf das in Anm. 13 Gesagte müßte man aber entweder uṣ 5 schreiben oder die Werte von uṣ für sich zählen, also úṣ schreiben.
Genaues Ausmessen der Photographie zeigt, daß dieses Zeichen in voller Übereinstimmung mit der Autographie in CT IX noch Platz hat (vgl. dagegen RA 29, 140 Anm. 2).
Statt dessen könnte man auch ZA-AB-NAM lesen (die Ergänzung [a-n]a ist nicht sehr sicher); aber ganz abgesehen davon, daß mir ganz unklar ist, was dieses Wort heißen sollte, wird die Lesung 4 geschützt durch Zeile 36, wo ja 4 = 15 gebildet wird. Allerdings ist zu bemerken, daß unser Text die Zahl 4 unter 48 Fällen 42-mal wie GAR und nur 6-mal wie ZA schreibt. Von diesen 6 Fällen ist außerdem einer (Vs. III, 2) eine Verschreibung für 2, zwei sind Verschreibungen für 5 (Rs. II, 14 und 16). Zwei weitere Belege stehen in der Zeitangabe Rs. I, 50 und auch der letzte (igi 4 gál 10 šu-si, Vs. II, 28) gehört nicht dem üblichen Rechenschema an.
Statt ½ GAR könnte man natürlich auch 1 (ban) šá lesen. Wenn auch unklar ist, was hier das Maß GAR soll, so ist es doch in Zeile 36 unmöglich durch šá ersetzbar.
Die Ergänzung von má = elippu nach Thureau-Dangin RA 29, 192 Anm. 1.
In der Autographie in CT IX ist die Sehne irrtümlich nicht gezeichnet und die zugehörige Zahl 50 zu Zeile 3 des Textes gezogen (vgl. Photographie).
Wie die Photographie zeigt, ist die 10 von der 4 zusammengedrückt, so daß wohl richtig 4 und nicht 14 gemeint war.
So ist zu lesen.
Wörtlich „Untergrund“, „Basis“. Der Sache nach dreht es sich um den Anfang des Dammes im Gegensatz zu dem Ende „vor dem Tor“ (s. Kommentar).
Diese Übersetzung des Terminus íb-si8 ist hier ausschließlich dem Zusammenhang entnommen (s. Kommentar).
Wörtlich: berührt nicht (s. RA 29, 140 Anm. 4).
Wörtlich: Höhe.
So muß man wohl dem Sinn nach übersetzen (vgl. RA 29, 135 Anm. 1).
Die Nominative ti-ib-ku-um bzw. ki-ir-bi-tum neben gam sind hier wohl als Appositionen zu fassen (Vorschlag von Schott).
Sinn: die (zwar unbekannte) Basis ist gleich der oberen Teilhöhe (d.h. Abstand zwischen „Kopf“ der Mauer und „Trennungslinie“). Wie aber im Einzelnen zu ergänzen ist, sehe ich nicht, da die Zeichenreste keinesfalls zu RI passen.
Siehe Kommentar.
Diese Worte sind hier irrtümlich eingefügt und sollten etwa am Schluß der Angaben stehen.
Diese Übersetzung scheint mir äußerst zweifelhaft. An sich müßte nach „0; 1,40 siehst Du“ stehen „0;1,40 (ist) die untere Breite“. Daß „addieren“ durch (a) a-na (b) gar-ra wiedergegeben wird, wäre zwar sprachlich durchaus möglich, ist aber sonst nirgends belegt. Ferner ist die Phrase .... gar-ra gerade im vorliegenden Text immer als Kennzeichen eines Abschnittes der Rechnung (Teilresultat) gebraucht. Schließlich wird die nötige Addition sogleich in der üblichen Weise (durch daḫ-ḫa) nochmals angeordnet. Ebensowenig ist BAL als „Differenz“ belegbar, sondern muß etwas wie „Bruchteil“ „Verhältnis“ heißen (daß Thureau-Dangin für „Differenz“ „raison arithmétique“ sagt, ist nur eine Verschleierung dieser Schwierigkeit). An sich würde ich es also als das Wahrscheinlichste ansehen, daß der Text hier gründlich verstümmelt ist: das gar-ra könnte an das Ende von Zeile 29 gehören, um das Teilresultat 2 hervorzuheben, während das „obere Breite und untere Breite“ zum Wort „Unterschied“ passen würde. Allerdings hängt das BAL dann ganz in der Luft.
Man könnte hier auch 2 GAR lesen und dies als einen Hinweis darauf auffassen, daß diesmal ausnahmsweise auch die senkrechte Strecke in GAR und nicht in Ellen zu verstehen ist. (Daß auch solche Figuren in den großen Maßen GAR zu verstehen sind, beweist die Berechnung der Kreissegmentfläche in Rs. III, 1 bis 6, wo die Fläche in gán angegeben wird.)
32a) Mit dieser Übersetzung von ḫurḫuru folge ich einem Vorschlag von Waschow UMN 39, 371 Anm. 2.
Das soll heißen „35 Beispiele“. [In YBC 4709, 4710, 4713 (vgl. Kap. VII) werden nicht die Beispiele, sondern die Felder gezählt (Terminus: IM-ŠU); dies würde hier 36 ergeben wegen des Aufgaben-Umbruchs von Vs. 1 zu Vs. II.] Im Einzelnen: zur Zeichenform šu-nigín vgl. z. B. Fossey, MA 2, 23721. Den Vorschlag KI BI IS ŠID als ki-bi-is minûti zu fassen, verdanke ich Herrn Schott. Zu ŠID = minûtum vgl. Deimel, ŠL 314, 15 bis 17.
Vgl. auch Deimel ŠL 461, 247 f.
Nach Holma, K „bezeichnet qimṣu den Teil des Beines, der beim Knieen den Boden berührt“ also „Schienbein, Unterschenkel“. Unserm Sprachgebrauch folgend würde man bei einem Bau etwa „Flügel“ sagen.
Vgl. dazu auch RA 29, 24 sowie RA 30, 188 Anm. 2, wo allerdings vor allem die Stellen betont werden, die für iku = „Damm“ sprechen.
Daß es sich bei kippatum—âlum um eine strenge Unterscheidung zwischen eindimensionalem Kreisumfang und zweidimensionaler Kreisscheibe handelt (RA 30, 187) ist leicht zu widerlegen, da kippatum BM 15 285 I, 3 zweifellos auch für Kreis scheibe verwendet wird.
Man könnte natürlich auch an ein ganz kleines Kastell oder eine Lagerbefestigung denken.
Ich hatte bei der andern Interpretation das GAM in ḫi-ri-tam ab-ni 6 GAM (und entsprechend Vs. I, 5) als Jcippatum gefaßt und eine sehr abgekürzte Ausdrucksweise (wie sie aber analog bei „5 GAM“ in I, 49 und Vs. III, 26 u. 27 bzw. Rs. III, 39 u. 44 belegt ist) angenommen, um zu übersetzen „eine Grabung habe ich gebaut, 6 (am) Umfang (hoch)“ statt „einen Graben habe ich gebaut, 6 (ist die) Tiefe“ (also GAM = šuplum; die Doppeldeutigkeit gerade dieses Ideogramms ist im gegenwärtigen Zusammenhang besonders unerfreulich).
Ich mußte einen allgemeinen Sinn, etwa „Grabung“ „Erdarbeit“ annehmen, da das ḫiritum bei meiner Interpretation als Aufschüttung zu deuten war.
Nicht überzeugt bin ich davon, daß âlum nun gerade als „Kreis“ zu übersetzen sei; es könnte, wenn man schon von âlum = „Stadt“ abgeht, auch das ganz bestimmte kreisförmige Objekt das hier gemeint ist (Teich?) bedeuten.
Vgl; dazu AfO 8, 129 ff. sowie QS B 1, 442 Anm. 101 (dort ist irrtümlich „Höhe“ und „Rücksprung“ vertauscht) und AfO 7, 92.
Für die weitere Rechnung spielt dieser Unterschied in den verwandten Massen keine Rolle, da ja auch das Volumen nicht in GAR3, sondern in GAR2 · Ellen gemessen wird (s. Kap. I, § 7 d, 3 c, S. 87). Demgemäß werden die errechneten horizontalen Größen von selbst in GAR, die vertikalen in Ellen erscheinen.
Es ist mir klar, daß man die Annahme eines Rechenfehlers durch die ad-hoc-Hypothese umgehen kann, daß das Profil unsymmetrisch anzusetzen sei, derart, daß ctg (math) wird. — Es scheint mir aber richtiger, auf die Tatsache hinzuweisen, daß der ganze Text eine große Reihe von Flüchtigkeitsfehlern aufweist und offenbar eine Abschrift älterer Texte darstellt. So hat auch der Schreiber in der Parallelaufgabe Rs. I, 1 bis 19 (s.u. § 11a S. 178) an einer genau analogen Stelle den Fehler begangen, Querschnittsfläche und Volumen zu verwechseln, die dort richtig in der Relation V = 1,0 η F stehen. Er schrieb also aus einer Vorlage ab, die nicht alle Zahlen ausdrücklich als „Fläche“, „Volumen“ usw. bezeichnete, und hat dies ohne Verständnis ergänzt.
Auch ohne den irrtümlichen Faktor 2 würde die Wurzel nicht rational ausfallen ((math)).
BM 85 210 Rs. II, 11 spricht von einem Fallen des Spiegels, so daß es sich um eine Auslauf-Uhr handeln muß.
Vielleicht ist die eingangs genannte Möglichkeit einer Beziehung zur Wasseruhr gišLU-LU noch dadurch zu verstärken, daß maštaktum sowohl das Ideogramm gišLU-LU wie gišKI-LAL hat (vgl. Delitzsch HWB 696 a bzw. Deimel ŠL 537,144 b und 461, 240 b).
Die Figuren sind metrisch ganz unkorrekt gezeichnet und wären wesentlich zu überhöhen.
Bezüglich ctg*α s. o. § 4e 1 S. 170 oder Kap. I, g 7f S. 94.
Hier liegt offenbar wieder ein Interpretationsfehler bzw. Auslassungen des Kopisten vor. Zunächst müßte im Stile unseres Textes Zeile 9 heißen: „15 siehst Du. 15 als obere Höhe (h 2) behalte“. Nunmehr müßte dieses h 2 durch h = 36 dividiert werden, was 0; 25 ergibt. Statt dessen erscheint diese „25“ ganz unmotiviert und wird außerdem als „Böschungswert“ bezeichnet. Offenbar hatte die Vorlage keine erklärenden Zusätze bei den Zahlen (vgl. den Fehler bei „36“ in Zeile 5) und der Schreiber hielt die 25 für 1/2 ctg *α in Analogie zum folgenden Beispiel (vgl. Zeile 20 und 23).
Ich gebe damit meine QS B 2, 306 vorgeschlagene Interpretation dieser Aufgabengruppe auf und schließe mich Herrn Waschow an, der mir seine diesbezüglichen Überlegungen freundlichst in einem Manuskript zur Verfügung stellte. Sie sind indessen von ihm publiziert in UMN 39, 368 ff. (1933).
Für die Rechnung als solche ist zu beachten, daß man 32,24: 4,3 üblicherweise so zu rechnen hätte: man stellt fest, daß das Reziproke von 4,3 gleich 14,48,53,20 ist und bildet damit 14,48,53,20 · 32,24 = 8. Statt dessen behauptet der Text, daß eine Reziproke von 4,3 nicht existiere („4,3 teilt nicht“), was wohl dadurch zu erklären ist, daß die üblichen kleinen Reziprokentabellen (vgl. Kap. I, § 2, a) nicht bis 4,3 reichen.
Dies ist auch mathematisch evident. Wäre nämlich V wirklich als gegeben anzusehen, so ließe sich die ganze Rechnung sehr viel einfacher durchführen.
In Zeile 40 ist die 9 ein Irrtum für 1,20; diese Verschreibung zeigt aber, daß der Schreiber bei „igi 6,40“ richtig an „9“ dachte.
Ich verdanke die Kenntnis von BM 85 200 dem freundlichen Entgegenkommen von Dr. Sidney Smith, der mir zusammen mit seiner Autographie auch das Manuskript seiner Bearbeitung dieses Textes übersandte, wofür ich ihm auch an dieser Stelle danken möchte. — Daß VAT 6599 ein nach Berlin geratenes Bruchstück derselben Tafel bildet, habe ich erst einige Wochen später erkannt.
Die Zeilenzählung bezieht sich bei den Beispielen Nr. 1 bis 5 Anfang, 11 bis 13, 25 bis 28 auf VAT 6599, sonst auf BM 85 200. Vgl. im übrigen die Autographie Teil II, Tafeln II sowie das nebenstehende Schema.
Dieses Zeichen ist an sämtlichen Zeilenanfängen wie PÚ geschrieben. Zwar sind die Zeichenformen von PÚ und UŠ oft nicht unterscheidbar (vgl. z. B. Fossey MA 2, 15 788 bzw. 31087), aber gerade der vorliegende Text schreibt abgesehen vom Aufgabenanfang UŠ immer etwas anders als PÚ. Trotzdem scheint mir, daß man diese Anfange als us sag zu lesen hat, wie es von den analogen Aufgaben in AO 8862 her bekannt ist und wie es sachlich sinnvoll und unmittelbar einleuchtend ist. Ich halte es lieber für eine Marotte (oder einen Abschreiberirrtum) des Schreibers, am Abschnittsanfang das Stichwort us immer mit einer etwas anderen Zeichenform zu schreiben, als im gewöhnlichen Text, als anzunehmen, daß es sich um eine bisher ganz unbekannte Wendung unbekannten Sinnes handle.
Vom Schreiber radiert.
Sieht wie ein ausgedrücktes Zeichen aus, das mit einem Winkelhaken schloß. Vgl. auch Kommentar.
Irrtümlich schon mar begonnen.
Oder 6 1 1 oder 6 GAR??
Vgl. Kommentar.
Vgl. Kommentar S. 214 Anm. 14.
Vgl. Anm. 11.
D. h. Anzahl der Abschnitte oder Beispiele. Vgl. die Tafelunterschrift von BM 85194 und Anm. 33 dort (oben S. 164).
Der Text hat irrtümlich 21 statt 3; 30.
In Analogie zu Nr. 17 wäre zu erwarten, daß diese Bedingung in der Form (y + (x-y)) = z ausgedrückt würde. Die Unstimmigkeiten am Ende der Zeile 29 kommen vielleicht daher, daß der Abschreiber veranlaßt durch die fortwährende Wiederholung von igi und igi-bi etwas ausgelassen hat (die zweite Hälfte von Zeile 29 hätte dann heißen müssen: nigin igi-bi ù ša igi u-gù igi-bi dirig GAM-ma).
Ist die 4,48 in Zeile 12 eine Verlesung dieser 7,48? Mit der an sich naheliegenden Interpretation 4,48 = 2µ 2 weiß ich nichts anzufangen.
So ist zu lesen gegen die Autographie in CT IX (s. Photographie).
Vgl. Anm. 6.
Bezüglich des Zeichenwertes uṣ vgl. BM 85 194 Anm. 16 S. 149.
Die Lücke reicht nur zur Ergänzung von na; uru-ki hat darin keinesfalls Platz.
Vielleicht kann man statt dessen lesen ú-[ul i-di] ?? Waschow UMN 39, 372 ergänzt jedenfalls in diesem Sinne. Gut paßt es aber nicht zu den Resten (vgl. CT IX, 14).
Die Autographie gibt ḫu-ur-DI-im. Ich glaube aber an der Photographie erkennen zu können, daß eine Zeichenform von ḫur wie Fossey MA 2 Nr. 26759 oder besonders 26 763 durchaus möglich ist.
Thureau-Dangins Ansicht (RA 29, 110 Anm. 5), daß dieses lu für das ganze uru-ki lu-úṣ-ba-at von Zeile 6 steht, wird sicherlich das Richtige treffen (vgl. auch das analoge Verhältnis von Zeile 15 zu Zeile 1). Es ist dies ein besonders krasses Beispiel für den oft geradezu stenographisch zu nennenden Stil der mathematischen Texte. Vgl. auch Vs. I, 2 (Zeilenende).
So statt 36.
Zeilenzählung nach CT IX, 15.
Thureau-Dangin will RA 29, 137 Anm. 4 hier U[B]-G[ÁN]-SAR lesen. Aber sowohl Photographie wie Autographie zeigen deutlich als erstes Zeichen ein ŠI. Die naheliegendste Erklärung wäre dann igi [4 gál]; leider paßt sie kaum zu den weiteren Zeichenresten.
Thureau-Dangin liest hierfür a-šà (RA 29, 137). Ich halte dagegen die Lesung 2,30 für sicher, wenn auch die 30 über ein anderes Zeichen weggeschrieben ist.
Diese Lesung nach Thureau-Dangin (vgl. AfO 8, 215 Anm. 2).
So nach Waschow. Vgl. oben Anm. 5 von S. 220.
So nach Waschow. Vgl. Anm. 32 a von S. 161.
Soll das etwa heißen, daß dieser Text 20, ein erster 30 Beispiele trug? Vgl. auch die Tafelunterschrift zu BM 85 194 und Anm. 33 dort (oben S. 164).
Indessen publiziert UMN 39, 373.
Vgl. den Korrekturzusatz auf S. 233.
Vgl. dazu Thureau-Dangin RA 29, 27 sowie Kugler, SSB I, 279 b.
Vgl. QS B 1, S. 194 Anm. 5. Thureau-Dangin hat diesen Sachverhalt bei seiner Interpretation übersehen.
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Neugebauer, O. (1935). BM Texte des British Museum. In: Mathematische Keilschrift-Texte. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-32794-4_4
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