Die regulären analytischen Funktionen

  • Adolf Hurwitz
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 3)

Zusammenfassung

Es sei G ein Gebiet der Zahlenebene. Ist dann jedem Punkt z = x + iy dieses Gebietes eine komplexe Zahl ζ = u + iv zugeordnet, so sagen wir, ζ sei in G eine Funktion der variablen Größe z. Dann sind also u und v reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y. Wir schränken diesen allgemeinen Funktionsbegriff zunächst durch die Forderung der Stetigkeit ein, indem wir verlangen, daß u und v stetige Funktionen von x und y sind. Wir fordern weiter, und das wird entscheidend sein, daß die Funktion ζ eine differenzierbare Funktion von z ist. Um diese Forderung zu präzisieren, erinnern wir uns an die Definition des Differentialquotienten einer Funktion τ der reellen Veränderlichen t. Der Differentialquotient \(\frac{{d\tau }}{{dt}}\) ist definiert als der Grenzwert des Ausdruckes \(\frac{{\tau \left( {t + h} \right) - \tau \left( t \right)}}{h}\) für unbegrenzt gegen 0 abnehmendes h, vorausgesetzt, daß dieser Grenzwert unabhängig davon existiert, wie die reelle Zahl h gegen Null strebt. Genau entsprechend definieren wir nun: ζ heißt eine im Punkte z differenzierbare Funktion von z, wenn f??r jede gegen Null konvergierende Folge komplexer, nicht verschwindender Zahlen h der Grenzwert
$$\mathop {\lim }\limits_{h = 0} \frac{{\varsigma \left( {z + h} \right) - \varsigma \left( z \right)}}{h}$$
existiert und nicht von der speziellen Wahl der Folge abhängt.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1922

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen Polytechnikum ZürichSchweiz

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