Über die Diophantische Gleichung ax ⁴ + bx ² y ² + cy ⁴ = ez ²

Zusammenfassung

Im Laufe der Zeit ist eine ganze Reihe von speziellen Diophantischen Gleichungen der Form

$$a{x^4} + b{x^2}{y^2} + c{y^4} = e{z^2}$$

(1)

vollständig gelöst worden. Bisher ist es jedoch weder gelungen, ein Verfahren anzugeben, das bei einer beliebig vorgegebenen Gleichung dieser Art die Entscheidung über Lösbarkeit oder Unlösbarkeit in endlich vielen Schritten ermöglicht, noch ein Verfahren anzugeben, das im Falle der Lösbarkeit die genaue Kenntnis der Struktur der Gesamtheit der Lösungen vermittelt, das also insbesondere darüber Auskunft gibt, ob die Gleichung endlich oder unendlich viele Lösungen besitzt. Einen gewissen Einblick erhält man dadurch, daß die Lösungen hinsichtlich einer Verknüpfung, die wir als Addition bezeichnen, eine Gruppe bilden. Zu dieser Addition kommt man, indem man entweder für die zur Gleichung

$$a{\xi ^4} + b{\xi ^2} + c = e{\eta ^2}$$

gehörigen elliptischen Funktionen das Additionstheorem aufstellt oder indem man rein algebraisch der Multiplikation der Divisorenklassen des durch diese Gleichung definierten algebraischen Funktionenkörpers eine Additionsvorschrift für die Lösungen entnimmt ¹). Von diesem Modul der Lösungen hat nun Mordell ²) gezeigt, daß er eine endliche Basis besitzt, und A. Weil ³) hat folgende Verallgemeinerung bewiesen: Die Gruppe der Divisorenklassen eines beliebigen algebraischen Funktionenkörpers über einem algebraischen Zahlkörper besitzt eine endliche Basis. Es handelt sich hierbei jedoch um reine Existenzsätze; den Beweisen kann man nicht entnehmen, wie eine solche Basis in endlich vielen Schritten konstruiert werden kann.

Eingereicht zur Erlangung des Grades eines lir. phil. habil. an der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig.