Einiges aus der Krystallberechnung

Zusammenfassung

Es wurden hier nur die allereinfachsten, gewöhnlichsten Fälle zusammengestellt, aus denen man den directen Uebergang findet von berechneten oder beobachteten Dreieckswinkeln zu den Elementen. Dazu wurde eine neue Zonenformel gefügt, einige wichtige Aufgaben aus den verschiedenen Systemen und endlich die Formeln und Schemata zur Ausrechnung schiefwinkliger Dreiecke. Diese Angaben haben einmal den Zweck, direct zur Verwendung zu kommen, indem sie die Berechnungsart für die häufigsten Fälle, auf die sich viele andere reduciren lassen, geben; andererseits sollen sie zeigen, wie durch die neuen Elemente und Symbole die Formeln und Ausrechnungen wesentlich vereinfacht werden. Diese Vereinfachung beruht zunächst in der Ersetzung der Elementarwinkel α β γ durch λ μ ν bei der Rechnung mit polaren Symbolen und polarer Projection. Es werden zur Zeit auch vielfach die Werthe λ μ ν angegeben unter den Zeichen A B C, jedoch nur nebenbei. Sie können aber die α β γ vollständig ersetzen und, wenn nur eine Angabe gemacht werden soll, verdrängen, so dass man die Winkelelemente α β γ in Verbindung mit den Längenelementen a b c resp. a₀ b₀ nur dann braucht, wenn man mit linearer Projection und ebenen Winkeln operirt. Die zweite Quelle der Vereinfachung ist die Einführung von zwei Indices p q resp. von zwei Längen-Elementen p₀ q₀ statt der drei h k 1 mit zugehörigen, zu diesen reciprok gestellten Elementen a (b) c. Der Einwand, dass die Symbole und daraus die Formeln nicht nach drei Richtungen symmetrisch sind, mag begründet sein für allgemeine theoretische Untersuchungen, bei denen die Einseitigkeit und Willkürlichkeit einer bevorzugten Aufstellung entfallen muss. Hier handelt es sich um Fragen der Auffassung und practischen Berechnung, wobei gerade die durch Symbol und Projection fixirte Einseitigkeit der Aufstellung die Anschauung des Ganzen ermöglicht, da wir nicht im Stande sind für eine Reihe von Formen den drei Raumrichtungen zugleich unsere Aufmerksamkeit zu widmen. Wir haben in der Projection eine Abstraction, die unsere Leistungsfähigkeit erhöht. Soll die Projection Grundlage der Rechnung sein, was zweifellos sich allgemein einführen wird, so müssen auch die Elemente der Rechnung die Elemente der Projection sein, und zwar für Linear-Projection lineare Elemente, für Polar-Projection polare Elemente. Der Einwand aus der Symmetrie schwächt sich ausserdem dadurch ab, dass, wenn wir Aufgaben aus dem Raum haben, nicht aus der Projection, wir statt der zweiziffrigen Symbole p q, und der Elemente p₀ q₀ sofort die dreiziffrigen p q i und p₀ q₀ I nehmen können und wieder nach Bedarf auf die zweiziffrigen zurückgehen, indem wir den dritten Werth r resp. r₀ = I setzen. So sind wir im Stande die Vortheile beider zugleich auszunützen.