Axiomatische Grundlegung der Hilbertraumstruktur der Quantenmechanik

Zusammenfassung

Wir hatten in I §1 und 2 eine kurze Skizze der Quantenmechanik in der Form MT_Σ ↔ w gegeben: Σ war die Hilbertraumstrukturart. Die Abbildungsvorschriften bestimmten die Hermiteschen Operatoren A als Observablen und die positiv definiten Hermiteschen Operatoren W mit Sp(W) = 1 als Gesamtheiten. Der Erwartungswert ist (unscharf) der reellen Zahl Sp(WA) zuzuordnen. Der Realtext sind die Meßergebnisse an Observablen. Die in I §1,2 gegebene Skizze hatte aber durchaus noch einige Unzulänglichkeiten, auf die wir dort schon aufmerksam machten. Statt diese zu beseitigen, wollen wir jetzt die ganze Theorie neu beginnen, indem wir versuchen, eine axiomatische Basis MT_Σ’ zu finden (II, §7.3). Dazu müssen wir aber auf den genormten Grundbereich gn von w d. h. auf die zu beschreibenden genormten Realtexte genauer eingehen (II, §5). Solche Worte wie Observable, Gesamtheiten, Eigenschaften sind viel zu vage, um damit auszudrücken, welche Realtextelemente gemeint sind. Wir müssen deshalb zuallererst genauer sagen, welchen Realtext wir überhaupt beschreiben wollen. Wir wollen weiterhin die pT der Quantenmechanik nicht auf einmal hinschreiben sondern jeweils von einer Theorie zu einer immer umfangreicheren Schritt für Schritt voranschreiten. Dabei wird auch der genormte Realtext immer umfangreicher bei gleichbleibendem Realtext, d. h. es werden mehr und mehr Zeichen im vorliegenden Realtext gesetzt und damit wird schließlich der Realtext durch die Theorie immer genauer beschrieben.