Zusammenfassung
Die im zweiten Kapitel besprochenen Prüfverfahren für das Testen einer Hypothese besitzen — wie wir bereits erwähnten — ohne Zweifel eine gewisse Anschaulichkeit und Überzeugungskraft. Wir haben jedoch schon darauf aufmerksam gemacht, daß es wünschenswert ist, eine allgemeine Theorie der Prüfverfahren zu entwickeln, die auf wenigen Grundannahmen aufbaut. Vor allen Dingen haben wir bisher noch keine klare Definition des Begriffes „Test“ gegeben. Weiter wird es sich darum handeln, Kriterien anzugeben, wann der eine von zwei Tests als der „bessere“ angesehen werden soll.
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Referenzen
Biometrika 20A, 175–240 und 263–294 (1928). Philos. Trans. roy. Soc. London, Ser. A, 231, 289–337 (1933).
Ein Standardwerk für die Testtheorie und die Theorie der Konfidenzbereiche, das zahlreiche Details behandelt, stellt das Buch von E. L. Lehmann 1. c.8.5, S. 15 dar: Testing Statistical Hypotheses, John Wiley, New York 1959, auf das wir hier ein für allemal verweisen.
Dieser Sprechweise liegt die Vorstellung zugrunde, daß dem Zufallsexperiment, welches die Stichprobe (x 1,...,x n ) liefert, dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Parameter a zugrunde liegt. Dieser richtige Wert a ist unbekannt, und die Nullhypothese, welche geprüft werden soll, setzt voraus, daß a = a 0 ist. Vgl. auch II. S. 154.
Der Fall α = 0 ist trivial und kann außer acht bleiben.
Genau genommen sind die Voraussetzungen des Satzes 12.2 von I. nicht überall erfüllt, da die Funktionaldeterminante für r = 0 und ϑ = 0 und ϑ = π verschwindet. Man sieht aber leicht, daß die Ausnahmemengen das Maß 0 haben.
Für die Auswertung dieser Integrale vgl. man z. B. N. Hofreiter u. W. Gröbner, Integraltafel, Zweiter Teil: Bestimmte Integrale, 2. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1961.
Für die erste Fassung dieses grundlegenden Satzes vgl. J. Neyman und E. S. Pearson, Statist. Res. Mem. Univ. London 1, 1–37 (1936). Weitere Untersuchungen:
G. B. Dantzig und A. Wald, Ann. math. Statistics 22, 87–93 (1951);
H. Chernoff und H. Scheffé, Ann. math. Statistics 23, 213–225 (1952);
S. Karlin, Mathematical Methodes and Theory in Games, Programming and Economics, II Pergamon Press-Addison Wesley Publishing Company, Oxford-London-New York-Paris 1959, 207 ff.
k = ∞ erfordert (auch für die Behauptung III.F.) eine triviale Sonderüberlegung.
Man vgl. die 1. c. 3.1 angegebene Arbeit von G. B. Dantzig und A. Wald.
Vgl. L. Schmetterer, Sankhya 25, 207–210 (1963).
Dies bedeutet, daß — g konvex ist.
Eine systematische Untersuchung der Zusammenhänge zwischen linearen Programmen und der Testtheorie findet sich bei E. W. Barankin, Univ. California Publ. in Statist. 1, 161–214 (1949–1953).
Vgl. etwa S. Vajda, Theory of Games and Linear Programming, John Wiley, New York 1956.
Die Nullhypothese ist also nicht mehr eine Menge „unbekannter Parameter”, sondern trägt selbst zufälligen Charakter. Wir werden dadurch zur sogenannten Bayesschen Auffassung in der Statistik geführt, die wir im folgenden gelegentlich illustrieren. (Vgl. insbesondere IV. 4. und V., S. 403.)
Vgl. hierzu S. 220ff.
Im Wesentlichen stellen die nachfolgenden Überlegungen nur eine Illustration zur Eindeutigkeitsaussage von Satz 3.1 dar.
P. R. Halmos und L. J. Savage, Ann. math. Statistics 20, 225–241 (1949).
Um diesen Schluß auch im Falle α = 0 und c = 1 zu rechtfertigen, hat man 0. ∞ = 0 zu definieren.
Daraus folgt natürlich nicht notwendig, daß die Menge der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaße W Γ konvex ist.
J. Pfanzagl, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 1, 109–115 (1963).
Hier und gelegentlich auch später merken wir nicht mehr an, wenn eine Beziehung nur λ-f. ü. gilt.
Vom Standpunkt der Praxis aus sind aber anderseits Alternativen, welche „zu nahe” an der Nullhypothese liegen, ebenfalls uninteressant.
Diese Terminologie beschränkt sich nicht nur auf Testprobleme. Sie ist sinngemäß auch auf Konfidenzbereiche (vgl. IV.) und die Theorie der Schätzungen (V.) anzuwenden.
Es ist ohne Belang, welchen Endpunkt man für dieses Intervall wählt. Man kann ∞ durch eine beliebige reelle Zahl > γ 0 ersetzen.
Diese soll nicht von y abhängen.
J. Neymak und E. S. Pearson, Statist. Res. Mem. Univ. London 2, 25–27 (1938).
Vgl. St. L. Isaacson, Ann. math. Statistics 22, 217–234 (1951).
Für weitere Verallgemeinerungen sei auf J. Neyman, Bull. Soc. math. France 63, 246–266 (1935)
und H. K. Nandi, Sankhya 11, 13–22 (1951) hingewiesen.
Vgl. S. 71.
Genau genommen liefert dies I., Satz 18.3 nur für n = 1, aber I., Satz 18.3 überträgt sich leicht auf den Fall, daß die dort genannte Funktion f in einen R n mit n > 1 abbildet.
Im wesentlichen stammt dieser Satz von E.B. Dynkin, Uspechi mat. Nauk 6, 68–90 (1951).
Vgl. auch B. O. Koopman, Trans. Amer. math. Soc. 39, 399–409 (1936).
E. W. Barankin und M. Katz, Sankhya 21, 217–246 (1959)
sowie E. W. Barankin und A. P. Maitra, Sankhya 25, 217–244 (1963). Von den allgemeinen Untersuchungen für den Fall einer nichtdominierten Menge W Γ erwähnen wir nur
D. L. Burkholder, Ann. math. Statistics 32, 1191–1200 (1961)und
D. L. Burkholder, Ann. math. Statistics 33, 596–599 (1962).
Die Bedeutung dieser Definition für die Mathematische Statistik wurde zuerst in einer Arbeit von E. L. Lehmann und H. Scheffé, Sankhya 10, 305–339 (1950) klar herausgestellt.
Vgl. H. Steinhaus-L. Kaczmarz: Theorie der Orthogonalreihen, Monografje Matematyczne VI, Warschau 1935.
Eine Anwendung der Hölderschen Ungleichung zeigt, daß diese Erwartungswerte stets einen Sinn haben.
Diese Begriffsbildung wurde von J. Neyman und E. S. Peakson, Phil. Trans. roy. Soc., 1. c.1.1 eingeführt.
Das erste diesbezügliche Beispiel stammt wohl von W. Feller, Statistical Res. Memoirs 2, 117–125 (1938).
Vgl. auch H. Kellerer, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verwandt. Gebiete 1, 240–246 (1963).
Vgl. E. L. Lehmann und H. Scheffé, 1. c. 8.1.
Für eine genaue Analyse vgl. man Lehmann, 1. c.1.2, 134 ff.
G. B. Dantzig, Ann. math. Statistics 11, 186–192 (1940) bewies, daß es keinen Test für den Mittelwert einer Normalverteilung mit vorgegebenem Stichprobenumfang gibt, dessen Gütefunktion von σ unabhängig ist. Weitere Beispiele für ähnliche Tests finden sich auch in VI.
W. V. Behrens, Landwirtschaftliche Jahrbücher 48, 807–837 (1929).
Ju. V. Linnik, Teor. Verojatn. Primen 9, 16–30 (1964),
Ju. V. Linnik, Izvestija Akad Nauk SSSR, Ser. mat. 28, 1–12 (1964).
Diese Methode stammt von J. Neyman und E. S. Pearson, Biometrika, 1. c.1.1.
Vgl. 5.
Vgl. dazu V., Lemma 3.2.
Eine solche findet man z. B. bei P. Hoel, Ann. math. Statistics 16, 362–368 (1945).
Ausführliche Belehrung bietet: H. Scheffé, The Analysis of Variance, John Wiley & Sons — Chapman & Hall, New York-London 1959.
Von solchen Zerlegungen wird in der Varianzanalyse häufig Gebrauch gemacht. Für die dahinter steckenden algebraischen Beziehungen vergleiche man H. B. Mann, Ann. math. Statistics 31, 1–15 (1960).
Für eine grundsätzliche Analyse dieses Modelles vgl. man A. N. Kolmogorov, Proc. Second All-Union Congress Math. Statistics, Sept. 27—Oct. 2, 1948. Acad. Sci. Uzbekistan Soviet. Socialist. Republic, Taschkent 1949, 240–268.
K. Pearson, Philos. Mag. V. Ser., 50, 157–175 (1900).
Zum Problem der Gruppeneinteilung vgl. man H. B. Mann u. A. Wald, Ann. math. Statistics 13, 306–317 (1942) und
H. Witting, Arch. der Math. 10, 468–479 (1959).
Für dieses Resultat und weitere wichtige Ergebnisse vgl. man H. Cramer, 1. c. I.40.1. Die erste Formulierung solcher Resultate findet sich bei R. A. Fisher, J. Roy. statist. Soc. 85, 87–94 (1922). Vgl. noch den Bericht von
W. G. Cochran, Ann. math. Statistics 23, 315–345 (1952).
A. Wald, Trans. Amer. math. Soc. 54, 462–482 (1943).
Die Gruppe heißt dann transitiv.
Vgl. z. B. A. Weil, L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités scientifiques et industrielles 869–1145, Hermann & Cie, 2. Auflage, Paris 1953.
Vgl. z. B. E. L. Lehmann, 1. c.1.2, 335. Siehe auch O. Wesler, Ann. math. Statistics 30, 1–20 (1959).
Für Genaueres vergleiche man A. Wald, 1. c. 11.1.
Vgl. hierzu J. L. Hodges jr. und E. L. Lehmann, Proc. Fourth Berkeley Sympos. math. Statist. Probability 1, 307–317 (1960).
Falls m = 1 ist, fällt diese Bedingung aus.
E. J. G. Pitman, Lecture notes on nonparametric inference. Columbia University, New York 1949.
Vgl. auch G. E. Noether, Ann. math. Statistics 26, 64–68(1955).
Vgl. jedoch die Ausführungen auf S. 294. Im übrigen sei auf J. L. Hodges jr. u. E. L. Lehmann, Ann. math. Statistics 27, 324–335 (1956) verwiesen.
R. R. Bahadur, Ann. math. Statistics 31, 276–295 (1960).
Die grundlegende Arbeit stammt von A. Wald, Ann. math. Statistics 16, 117–186 (1945). Man vergl. auch
A. Wald, Sequential Analysis, John Wiley & Sons—Chapman & Hall, New York-London 1947.
Der Test besitzt bei vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten im Mittel den kleinsten Stichprobenumfang. Genaueres bei A. Wald und J. Wolfowitz, Ann. math. Statistics 19, 326–339 (1948).
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Schmetterer, L. (1966). Einführung in die Testtheorie. In: Einführung in Die Mathematische Statistik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-25933-7_5
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