Equations différentielles opérationnelles du premier ordre en t (II)

Sommaire

La lecture de ce chapitre suppose acquis les Chap. I et III, le No.1 du Chap. II, et le No.1 du Chap. IV.

Les No.1 et 2, purement techniques, Préparent le No.3 qui contient les résultats essentiels de ce chapitre. Le théorème 3.1 contient le théorème 1.1 du Chap. IV, mais nous avons préféré séparer nettement les deux cas; en effet, au Chap. IV, k = 0, la difficulté essentielle réside dans l’unicité, alors qu’ici, k > 0, l’unicité est immédiate, l’existence étant par contre techniquement plus compliquée.

Le No.4 donne les résultats «transposés» de ceux du No.3; la méthode est très analogue à celle du Chap. II. No.10 (de sorte que ces deux No. ont intérêt à être lus simultanément). Ce No. nécessite la connaissance des rudiments de la théorie des distributions à valeurs vectorielles (et peut être passé par le lecteur non au fait de cett théorie — théorie dont un bref résumé est donné au Chap. XI, No.1 — ).

Le No.5, application facile du No.3, complète un Résultat de O.A. Ladyzenskaya.

Le No.6 étudie le cas des données initiales non nulles — problème qui est résolu de façon non complètement satisfaisante (cf. le texte).

Le No.7 donne un résultat de régularité du type de ceux du No.3; la méthode (quotients différentiels) est plus importante que le résultat obtenu. On donne ensuite ensuite une application facile de la théorie de l’interpolation dans les espaces de Hilbert — ce qui conduit d’ailleurs à un problème non résolu.