Kohomologieoperationen

Zusammenfassung

Im V. Kapitel wurden für die ss. Mengen nicht nur Kohomologiemoduln eingeführt sondern auch einige natürliche Abbildungen zwischen den Kohomologiemoduln definiert, wie die Koeffizienten- und Bockstein-Homomorphismen und Potenzen im Sinne des Cupproduktes. Man nennt solche bezüglich X natürliche Abbildungen

$$\Omega :{H^n}(X;\pi ) \to {H^q}(X;G)$$

(*)

Kohomologieoperationen. Sie brauchen keine Homomorphismen zu sein. Die Potenzen im Sinne des Cupproduktes sind es im allgemeinen auch nicht. Im ersten Abschnitt werden die Kohomologieoperationen für Paare A ⊂ X von ss. Mengen und von topologischen Räumen definiert. In beiden Fällen stimmen die Kohomologieoperationen überein. Zweiter Abschnitt: Für die allgemeine Theorie der Kohomologieoperationen ist von grundlegender Bedeutung, daß sämtliche Kohomologieoperationen (*) umkehrbar eindeutig den Kohomologieklassen in H^q(K(π,n);G) entsprechen, wobei K(π,n) die Eilenberg-MacLane-Menge ist. Die folgenden Abschnitte vom dritten an dienen dazu, die für die Anwendungen wichtigsten Kohomologieoperationen, nämlich die Steenrodschen reduzierten Potenzen, zu definieren und ihre grundlegenden Eigenschaften zu beweisen. Die Liste dieser Eigenschaften findet man in 3.1 +2. Die Nummer 3.6 bringt einen Überblick über die langwierigen Konstruktion der reduzierten Potenzen. Es handelt sich um eine Übertragung von Steenrods [2–4] Originalkonstruktion auf ss. Mengen.