Theorie des Maximalgliedes von Wiman-Valiron

Zusammenfassung

$w = g(z) = \sum\limits_0^\infty {{a_j}} {z^j}$ sei ganz transzendent. Da für festes r die Glieder |a _j |r ^j bei j → ∞ gegen Null streben, gibt es unter diesen Gliedern mindestens ein größtes. Falls es mehrere gibt, wird dasjenige mit dem größten Index j = v = v (r) weiterhin betrachtet. v (r)heißt der Zentralindex, m (r) = |a _v(r)| r ^{v (r)} das Maximalglied. Für ein Polynom P (z) = a ₀ +... + a _n z ⁿ ist von einem gewissen r ab v (r) ≡ n erfüllt. Aus dem Verlauf der Geraden y = log|a _j | + j x, x = logr, (es werden nur die von Null verschiedenen Koeffizienten a _j berücksichtigt), folgt die Existenz einer Folge r _j positiver Zahlen 0 = r ₁ < r ₂ <..., r _j → ∞, mit folgender Eigenschaft: Im Intervall r _j ≦ r < r _{j + 1} hat v(r) den festen Wert v _j . Die Werte v _j bilden eine unbeschränkt wachsende Folge. v (r) ≡ n für alle r ≧ r ₀ bedeutet also, daß g(z) ein Polynom ist. Weiter folgt aus dem Verlauf der eben definierten Geraden y = log|a _j | + jx, daß log m(r)eine stückweise lineare und in logr konvexe Funktion ist. Die Eckpunkte liegen über x _j = logr _j , und die durch x _j , x _{j +1} bestimmte Strecke des Polygons hat die Steigung v _j . Für in einem Kreis |z| < R < ∞ konvergente Potenzreihen kann der Zentralindex ebenfalls eingeführt werden. Es braucht aber nicht v(r) → ∞ für r → R zu gelten, wie ${\sum\limits_0^\infty {(\frac{z}{R})} ^j}$ mit v (r) ≡ 0 zeigt. Bildet man mit einer unendlichen wachsenden Folge positive Zahlen 0 < p ₁ < p ₂ <…→ R die Reihe $1 + \sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{{{z^j}}}{{{p_1}{p_2}...{p_j}}}}$, so ist der Konvergenzradius $R = \begin{array}{*{20}{c}} {\lim } \\ {n \to \infty } \end{array}{p_n}$. Im Intervall p _j ≤ r < r _{j +1} ist $\frac{{{r^j}}}{{{p_1}{p_2}...{p_j}}} = m(r)$, also v(r) = v _j =j für r _j =p _j ≤ r < r _{j +1}. Die Reihe $\sum\limits_1^\infty {\exp ({j^\beta })} {z^j}$, 0 < ß < 1, ist für |z| < 1 konvergent, und es gilt v(r) → ∞ für r → 1. Gehört zu $f(z) = \sum\limits_0^\infty {{a_j}{z^j}}$, |z| < R < ∞, der Zentralindex v (r) und zu f ′(z) der Zentralindex v ₁ (r), dann hat c z f′ (z) den Zentralindex $\overline {{v_1}} (r) = {v_1}(r) + 1$, wie unmittelbar aus der Definition folgt. Hat $f(x) = \sum\limits_1^\infty {\exp ({j^\beta })} {x^j}$, 0 ≤ x < 1 den Zentralindex n, x · f′ (x) den Zentralindex n ₁, dann gilt die Beziehung

$$n \leqslant x < {n_1} \leqslant n(1 + \frac{c}{{{n^\beta }}}),ceinefesteKons\tan te.$$

(1)

Dies ergibt sich, wenn j als stetige Variable betrachtet wird und die Maximalglieder nach den Regeln über Extrema von Funktionen einer Variablen bestimmt werden.