Übersicht über Abschnitt VI
Es werden die für die praktische Rechnung wichtigen Verfahren behandelt, mit deren Hilfe die Differentialgleichungen für die indifferenten Gleichgewichtszustände angenähert gelöst werden können. Zunächst werden die an die Energiemethode anknüpfenden Verfahren von Ritz und Galerkin erläutert, an die sich Betrachtungen über die Extremumseigenschaften der Eigenwerte anschließen. Es folgt eine Besprechung der vor allem für eindimensionale Probleme geeigneten Methode der schrittweisen Näherung und deren Kopplung mit dem Ritz-schen Verfahren. Einige Betrachtungen über die Eigenwerte von Systemen, die sich aus Teilsystemen mit bekannten Eigenwerten zusammensetzen, runden den Kreis der Verfahren ab, bei denen die Energiemethode eine Rolle spielt. Der Abschnitt schließt mit einer Erläuterung des übertragungsverfahrens, das u. a. beim Einsatz elektronischer Rechenautomaten von Bedeutung ist.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Es soll sich allerdings nur um eine Behandlung der für Stabilitätsprobleme wichtigsten Fragen handeln, wobei noch die rein mathematischen Probleme in den Hintergrund treten werden. Wegen ausführlicherer Darstellungen sei auf die mathematische Literatur verwiesen, vor allem auf L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963.
Nach F. Willers: Z. angew. Math. Mech. 21 (1941) 43.
Die klassische Abhandlung von W. Ritz findet sich im J. reine angew. Math. 135 (1909) 1.
Vgl. z. B. S. Timoshenko: Schwingungsprobleme der Technik, Berlin 1932, S. 288.
Es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten zur Bestimmung der Freiwerte eines Ansatzes von der Form (14), auf die hier nicht näher eingegangen werden soll. Zum Beispiel kann man nach der „Kollokationsmethode” in n willkürlich wählbaren Punkten des Systems die Erfüllung der Differentialgleichung verlangen. (Vgl. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 411.)
Diese Methode wurde schon von J. W. Rayleigh: Theory of Sound, Kap. 4, London 1877/78, angegeben. Wenn oben nur die Verwendung eines eingliederigen Ansatzes als Ray-Leighsches Verfahren bezeichnet wurde, so sollte damit weniger den historischen Tatsachen Rechnung getragen werden, als vielmehr eine zweckmäßige und vielfach übliche Bezeichnungsweise zur Unterscheidung der verschiedenen Verfahren eingeführt werden.
Vgl. z. B. R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 3. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York 1968, S. 179.
Zur Kennzeichnung dieses Unterschiedes benutzen C.B. Biezeno u. R. Grammel: Technische Dynamik, Bd. I, 2. Aufl., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1953, S. 144, die Bezeichnungen „geometrische” und „dynamische” Randbedingungen.
In der mathematischen Literatur, siehe E. Kamke: Math. Z. 48 (1942) 67, werden außerdem noch in etwas anderem Zusammenhang die Bezeichnungen „wesentliche” und „restliche” Randbedingungen benutzt, die sich in der Anwendung auf die hier zu behandelnden Stabilitätsprobleme mit den Begriffen „geometrische” und „dynamische” Randbedingungen und damit häufig auch mit den Begriffen „künstliche” und „natürliche” Randbedingungen decken.
Vgl. etwa R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 3. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York 1968, S. 236;
L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 51.
Der ausführliche Nachweis der Entwickelbarkeit findet sich bei L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 137.
Courant, R., u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 3. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York 1968, S. 351.
Trefftz, E.: Math. Arm. 100 (1928) 503.
Trefftz, E. Kryloff, M. N.: Mem. Sciences Math. 49 (1931).
Bertram, G.: Z. angew. Math. Mech. 37 (1957) 191, und 39 (1959) 236.
Michlin, S. G.: Variationsmethoden der mathematischen Physik, Berlin 1962.
über die Einzelheiten der Rechnung vgl. H. Hartmann: Knickung — Kippung — Beulung, Wien 1937, S. 170. Die Beulbedingung findet sich auch im Anhang dieses Buches, Beulfall II, A, a, 8.
Vgl. H. Hartmann: Knickung — Kippung — Beulung, Wien 1937, S. 170.
Galerkin: Wjestnik Ingenerow Heft 19, Petrograd 1915. Ein Referat über diese in russischer Sprache erschienene Arbeit findet sich bei H. Hencky: Z. angew. Math. Mech. 7 (1927) 80.
Nach R. Courant u. D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, 3. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York 1968, S. 151, stammt der Grundgedanke dieser Näherung bereits von Euler (1744).
Von K. Sattler: Bautechnik 30 (1953) 288 u. 326, wird es treffend als „Durchbiegungsverfahren” bezeichnet.
Vgl. hierzu K. Sattler: Fußnote 2, und R. Klement: Der Stahlbau 26 (1957) 372.
Verfahren, die auf die praktische Berechnung von Stockwerkrahmen und mehrfeldrigen Rahmen zugeschnitten sind, werden angegeben in V. Gensichen: Zur Einschränkung und genauen Berechnung der Knicklasten ebener Rahmentrag werke, Mitt. d. Inst. f. Statik d. Techn. Univ. Hannover, Nr. 21 (1974).
Leipholz, H.: Z. angew. Math. Phys. 14 (1963) 70, wo auch die Konvergenz für das folgende Beispiel allgemein bewiesen wird. Vgl. ferner M. W. Keldysch: Isw. d. Akad. d. W. d. UdSSR 1942 und Leipholz, H.: Z. angew. Math. Mech., Tagungssonderheft 1965, S. 127.
Vgl. E. Abody u. A. Petür: Math. Naturw. Anzeiger d. Ungar. Akad. d. Wiss. 62 (1948).
über die graphische Lösung von Eigenwertproblemen s. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 179. 14 Pflüger, Elastostatik, 3. Aufl.
Damit ist natürlich noch nicht gesagt, daß zwischen diesen Schranken auch der wahre Wert P K liegen muß. Im vorliegenden Fall trifft das zwar zu, es ist aber keineswegs immer der Fall. Näheres darüber, wann ein entsprechender „Einschließungssatz” gilt, siehe L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 131.
Bei graphischer Integration und Verzicht auf die Mittelbildung nach dem Ritzschen Verfahren pflegt man die Methode der schrittweisen Näherung bei Knickaufgaben auch als Vianello-Verfahren zu bezeichnen. Nach L. Vianello: Z. VDI 42 (1898) 1436.
Man kann natürlich auch daran denken, das allgemeine Ritzsche bzw. Galerkinsche Verfahren unter Benutzung eines mehrgliederigen Ansatzes mit der halben Iteration zu kombinieren. Der Ausbau dieses Gedankens führt zu dem besonders für Schwingungsuntersuchungen geeigneten Verfahren von R. Grammel: Ing.-Arch. 10 (1939) 35, das also die obige Vorschrift (85) als Spezialfall enthalten würde.
Vgl. Anhang, Knickfall I, A, b, 2.
Traenkle, A.: Ing.-Arch. 1 (1930) 510.
Vgl. K. Hohenemser: Ing.-Arch. 1 (1930) 280. wo die entsprechende Schlußfolgerung für Schwingungen ausgesprochen ist.
Vgl. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, 2. Aufl., Leipzig 1963, S. 44.
Die genaue Kurve muß übrigens immer „von unten gesehen” konkav verlaufen, wie zuerst H. Schaefer gezeigt hat. Vgl. hierzu und allgemein zu den Ausführungen der Abschnitte VI, E, 2, 3: Schaefer, H.: Beitrag zur Berechnung des kleinsten Eigenwertes eindimensionaler Eigenwertprobleme, Diss. Hannover 1934 und Z. angew. Math. Mech. 14 (1934) 367.
Strigl, G.: Der Stahlbau 24 (1955) 33 u. 51.
Börsch, W., u. Supan: Der Stahlbau 24 (1955) 62.
Die Rechnung könnte auch mit dem Drehwinkelverfahren weitergeführt und insbesondere die Auflösung der entstehenden Gleichungen mit dem Verfahren von Cross durchgeführt werden. S. E. Chwalla, Der Bauingenieur 34 (1959) 128, 240, 299.
Dieses Verfahren ist wohl zuerst in der Schwingungslehre bei H. Holzer: Schiffbau 8 (1907) 823, 866, 904 zu finden, wo es allerdings noch nicht als besondere Methode gekennzeichnet ist. In die Baustatik wurde es unter dem Namen „Traversenmethode” von Stewart eingeführt.
Siehe R. Stewart u. A. Kleinlogel: Die Traversenmethode, Berlin 1952. Von S. Falk wird es in Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 7 (1955) 74 und in weiteren Veröffentlichungen als „Reduktionsverfahren” bezeichnet, in sehr weitreichender Form entwickelt und für zahlreiche Probleme anwendungsfähig gemacht.
Siehe auch R. Kersten: Das Reduktions-verfahren der Baustatik, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1962.
Von der übrigen recht umfangreichen Literatur sei nur der Aufsatz W. Schnell: Z. angew. Math. Mech. 35 (1955) 269,angeführt, der sich auch mit den hier behandelten Problemen beschäftigt.
Die Grundlagen dieses Kalküls werden hier als bekannt vorausgesetzt. Vgl. z. B. R. Zurmühl: Matrizen, 4. Aufl., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1964.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1975 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Pflüger, A. (1975). Näherungslösungen für Eigenwertprobleme. In: Stabilitätsprobleme der Elastostatik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09994-0_6
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-09994-0_6
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-09995-7
Online ISBN: 978-3-662-09994-0
eBook Packages: Springer Book Archive