Maße auf topologischen Räumen

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel studieren wir Maße auf topologischen Räumen. Musterbeispiele sind das Lebesgue-Maß und die Lebesgue—Stieltjesschen Maße. Wir interessieren uns daher besonders für diejenigen Maße auf der σ-Algebra B(X) der Borel-Mengen des topologischen Raums X, die möglichst viele Eigenschaften mit dem Lebesgue-Maß gemeinsam haben. Diese etwas vage Zielvorstellung legt verschiedene Ansätze nahe. Das betrifft zunächst die topologischen Voraussetzungen an den Raum X: Der ℝ^p ist sowohl ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum als auch ein vollständig metrisierbarer Raum. Demzufolge entwickeln wir die Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen in § 1 bevorzugt für lokal-kompakte Hausdorff-Räume und für vollständig metrisierbare Räume. In § 2 zeigen wir: Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so läßt sich jede positive Linearform I: C _c (X) → K auf dem Raum C _c (X) der stetigen Funktionen f: X → K mit kompaktem Träger in der Form

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„darstellen“ durch ein geeignetes Maß µ auf B(X) (Darstellungssatz von F. Riesz). Von diesem Satz beweisen wir mehrere Varianten. Das führt zu einer Beschreibung des Dualraums von C ₀(X) durch signierte bzw. komplexe Maße auf B(X). — In Kap. III, §2 haben wir festgestellt, daß das Lebesgue—Borelsche Maß β ^p das einzige normierte translationsinvariante Maß auf B^p ist. Dieser Sachverhalt ist nur ein Spezialfall des fundamentalen Satzes von Haap, den wir in §3 beweisen: Auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe existiert ein translationsinvariantes Radon-Maß, und dieses ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Der Beweis dieses Satzes ist eines der wichtigsten Ziele von Kap. VIII. Da der Satz von Haar im wesentlichen nur für lokal-kompakte Gruppen gilt, werden wir uns in §§ 2–3 bevorzugt mit Borel-Maßen auf lokal-kompakten Räumen beschäftigen.