Maße auf topologischen Räumen

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel studieren wir Maße auf topologischen Räumen. Musterbeispiele sind das Lebesgue-Maß und die Lebesgue-Stieltjesschen Maße. Wir interessieren uns daher besonders für diejenigen Maße auf der σ-Algebra 𝔅(X) der Borel-Mengen des topologischen Raums X, die möglichst viele Eigenschaften mit dem Lebesgue-Maß gemeinsam haben. Diese etwas vage Zielvorstellung legt verschiedene Ansätze nahe. Das betrifft zunächst die topologischen Voraussetzungen an den Raum X: Der ℝ^p ist sowohl ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum als auch ein vollständig metrisierbarer Raum. Demzufolge entwickeln wir die Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen in § 1 bevorzugt für lokal-kompakte Hausdorff-Räume und für vollständig metrisierbare Räume. In § 2 zeigen wir: Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so läßt sich jede positive Linearform I : C _c (X) → 𝕂 auf dem Raum C _c (X) der stetigen Funktionen f : X → 𝕂 mit kompaktem Träger in der Form

$$ I\left( f \right) = \int_x {fd\mu } \quad \left( {f \in {C_c}\left( X \right)} \right)$$

„darstellen“ durch ein geeignetes Maß μ auf 𝔅(X) (Darstellungssatz von F. Riesz). Von diesem Satz beweisen wir mehrere Varianten. Das führt zu einer Beschreibung des Dualraums von C ₀(X) durch signierte bzw. komplexe Maße auf 𝔅(X). — In Kap. III, § 2 haben wir festgestellt, daß das Lebesgue-Borelsche Maß β ^p das einzige normierte translationsinvariante Maß auf 𝔅^p ist.