Ganze Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen

Zusammenfassung

Ist f ≠ 0 eine holomorphe Funktion in einem Gebiet G,so ist ihre Nullstellenmenge N(f) auf Grund des Identitätssatzes (vgl. I.8.1.3) diskret und abgeschlossen in G. Es ist naheliegend, folgendes Problem zu stellen:

Es sei T irgendeine in G diskrete und abgeschlossene Menge, jedem Punkt d ∈ T sei irgendwie eine natürliche Zahl d(d) ≥ 1 zugeordnet. Man konstruiere in G holomorphe Funktionen, die T als genaue Nullstellenmenge besitzen, und die überdies in jedem Punkt d ∈ T die Nullstellenordnung d(d) haben.

Es ist also stets möglich, eine ganze eindeutige Function G(x) mit vorgeschriebenen Null-Stellen a _l, a ₂, a ₃ ... zu bilden, wofern nur die nothwendige Bedingung EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr % pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs % 0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeGaciGaai % aabeqaamaabaabauaakeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaOGa % amysaiabg2da9iaad+gacaaIWaaaaa!44B0!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\mathop {Lim}\limits_{n = \infty } \left| {a_n } \right| = \infty$$erfüllt ist (Weierstrass, Math. Werke 2, S. 97)