Das Bertrandsche Postulat

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, dass die Primzahlen 2,3,5,7,... eine unendliche Folge bilden. Daraus kann man auch folgern, dass es beliebig große Lücken zwischen den Primzahlen geben muss. Schreibt man nämlich N ≔ 2 · 3 · 5 ·... · p für das Produkt aller Primzahlen, die kleiner sind als k + 2, dann kann keine der k Zahlen

$$N + 2,N + 3,N + 4, \ldots ,N + k,N + (k + 1)$$

prim sein, denn für 2 ≤ i ≤ k + 1 hat i einen Primfaktor, der kleiner ist als k + 2, und dieser Faktor teilt auch N, und damit auch N + i. Mit diesem Rezept finden wir zum Beispiel für k = 10, dass keine der zehn Zahlen

$$2312,2313,2314, \ldots ,2321$$

prim ist.