Zusammenfassung
Dies geht auf Aristoteles zurück, der behauptet haben soll, dass Durchmesser und Umfang eines Kreises nicht kommensurabel seien. Der erste Beweis wurde 1766 von Johann Heinrich Lambert gegeben. Im BUCH findet sich jedoch das Datum 1947: ein extrem eleganter Ein-Seiten-Beweis von Ivan Niven, für den man nur elementare Analysis braucht. Man kann aber noch viel mehr aus Nivens Methode herausholen, wie Iwamoto bzw. Koksma gezeigt haben:
-
π2 it irrational und
-
e r ist irrational für rationales r≠0.
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Literatur
C. Hermite: Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de lAcadémie des Sciences (Paris) 77 (1873), 18-24; OEuvres de Charles Hermite, Vol. III, Gauthier-Villars, Paris 1912, pp. 150 - 181.
Y. Iwamoto: A proof that 71-2 is irrational, J. Osaka Institute of Science and Technology 1 (1949), 147 - 148.
J. F. Koksma: On Niven’s proof that π is irrational, Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 23 (1949), 39.
J. Liouville: Sur l’irrationalité du nombre e = 2,718..., Journal de Mathématiques Pures et Appl. (1) 5 (1840), 192; Addition,193-194.
I. Niven: A simple proof that it is irrational, Bulletin Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
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Hermite, C. (2004). Einige irrationale Zahlen. In: Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-06452-8_6
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-06452-8_6
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