Der Integralsatz von Stokes

Zusammenfassung

Zur Integration einer Funktion über eine Untermannigfaltigkeit des ℝⁿ in Kapitel 11 bedienten wir uns lokaler Parameterdarstellungen, wobei sich die Invarianz gegen Parameterwechsel aus der Multiplikation mit dem Maßtensor ergab. Dieser involvierte die euklidische Metrik des umgebenden ℝⁿ und stellt in seiner infinitesimalen oder auch linearen Version die d-dimensionalen Volumina der d-Spate in Rechnung. Nun ist es einer Analysis auf Mannigfaltigkeiten angemessener, mit Objekten zu arbeiten, deren Natur bereits die nötigen Invarianzeigenschaften mitbringt. Für die Theorie der Kurvenintegrale in Kapitel 5 hatten wir in den 1-Formen Inte-granden, deren Integration keine Metrik im ℝⁿ erfordert. Geeignete Verallgemeinerungen, nämlich die Differentialformen vom Grad d, erweisen sich auch als die „richtigen” Integranden für die Integration über d-dimensionale (orientierte) Mannigfaltigkeiten. Man definiert diese Differentialformen als Felder alternierender d-Linearformen. (Alternierende d-Linearformen messen Flüsse durch orientierte d-Spate.) Die Differentialformen und nicht etwa kontravariante Vektorfelder stellen auch den mathematischen Begriff dar, der zahlreiche physikalische Größen, zum Beispiel der Elektrodynamik, sachgerecht und relativistisch invariant beschreibt; siehe [1] und [15].