Zusammenfassung
Die Kellermaschine benötigt Protokollkeller und Wertekeller, um „hängende“ Operationen und dazugehörige Operanden aufzunehmen. Bei repetitiven Rechenvorschriften und Systemen entfällt diese Notwendigkeit, die Kellermaschine kann zu einer Babbage-ZuseMaschine entarten. In diesem Kapitel werden Methoden und Ansätze besprochen, die der Überführung gewisser rekursiver Rechenvorschriften in repetitive Form dienen können. Die Überlegungen schließen trivialerweise hierarchisch-gestufte Systeme von Rechenvorschriften ein.
“... the transformation from recursion to iteration is one of the most fundamental concepts of computer science.” Knuth 1974
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Referenzen
Engl. (strongly) equivalent (Paterson, Hewitt 1970).
Dieser Begriff wird etwa von Courcelle und Nivat 1976 benutzt.
Im folgenden werden wir der Einfachheit halber häufig kurz von „Rechenvorschriften“ statt von „Rechenvorschrifts-Schemata“ sprechen.
Bei den folgenden Transformationen werden wir die Angabe der Bedingungen meist um die (ohne weiteres ergänzbare) Quantifizierung verkürzen.
Diese Transformation — mit co als starrem Parameter — ist in Morris 1971 zu finden.
In der numerischen Mathematik werden effizientere und stabilere Verfahren unter Verwendung von Näherungspolynomen benutzt.
Vgl. Hermes 1978, § 10. Man beachte, daß das folgende Ergebnis nur theoretische Bedeutung hat: Das praktische Problem, eine gegebene primitiv-rekursive Funktion auf dieses Schema zu bringen, bleibt unberücksichtigt.
Die Voraussetzung, die wir zum Beweis benutzt haben, daß nämlich determiniert ist, kann en tbehrt werden.
Dem steht nicht entgegen, daß auch die Babbage-Zuse-Maschine universell ist (für den Zusammenhang mit Ablaufdiagrammen, die bekanntlich auch universelle Mittel zur Darstellung berechenbarer Funktionen sind, siehe 6. Kap.). Dies bedeutet lediglich, daß zu jeder rekursiven eine gleichwertige (aber nicht notwendig operativ gleichwertige) repetitive Rechenvorschrift angegeben werden kann.
Interpretation von λ und p als bool, mit U und als Prädikaten und φ(s, t) als if s then t else false fi, [x] als true. Man zeigt, daß jedes repetitive Schema für eine gewisse Interpretation nicht mehr in all den Situationen terminiert, in denen φ terminiert.
pnat bedeutet {nat n: n = 0} (vgl. 2.4).
Es gibt daneben eine zahlentheoretische Interpretation von fusc, siehe de Rham 1947.
Wir brauchen die triviale Kombination mit (a, b) = (0, 0) nicht auszuschließen.
Beachte: In G wird φ einmal mehr als in G berechnet (das Ergebnis dieser überzähligen Berechnung wird zwar nicht benutzt, muß aber stets definiert sein).
Sie ist bei der nachfolgenden Interpretation von δ und . erfüllt.
bezeichnet die Zusammensetzung von und.
Die Beispiele am Ende dieses Abschnitts zeigen, daß (2) in engem Zusammenhang mit der Terminierung von F steht.
Die so durch Wertverlaufsrekursion definierten Funktionen sind primitiv-rekursiv (vgl. Hermes 1978, S. 82).
„Vor“ und „nach“ sind dabei im Sinne des „natürlichen Ablaufs“ (1.4.3), also in der durch den Kantorovic-Baum gegebenen Ordnung, zu verstehen.
Wir dürfen annehmen, daß X 1 und X 2 nicht übereinstimmen, da sonst die linear rekursive Rechenvorschrift L von oben vorliegt.
Dadurch wird der erforderliche Speicherplatz beträchtlich verringert. Aus diesem Grund ist es vorteilhafter, dem Programmierer Zugang zum Kellermechanismus zu geben, anstatt diesen in einem komplexen Übersetzer zu verbergen.
Vergleiche dazu auch die in 1.6 bewiesene Eigenschaft Q[fac] .
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© 1984 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Bauer, F.L., Wössner, H. (1984). Überführung in repetitive Form. In: Algorithmische Sprache und Programmentwicklung. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-05654-7_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-05654-7_5
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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