Ringe und Polynome

Zusammenfassung

Ein Ring ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe R, auf der zusätzlich eine Multiplikation definiert ist, wie etwa beim Ring ℤ der ganzen Zahlen. Dabei verlangt man, daß R ein Monoid bezüglich der Multiplikation ist und daß Addition und Multiplikation im Sinne der Distributivgesetze miteinander verträglich sind. Wir werden die Multiplikation in Ringen stets als kommutativ voraussetzen, abgesehen von einigen Betrachtungen in Abschnitt 2.1. Bilden die von Null verschiedenen Elemente eines Ringes sogar eine (abelsche) Gruppe bezüglich der Multiplikation, so handelt es sich um einen Körper. Die Definition eines Rings geht dein Sinne nach auf R. Dedekind zurück. Bei Dedekind waren Ringe zahlentheoretisch motiviert durch das Rechnen mit ganzen Zahlen in algebraischen Zahlkörpern, also durch das Studium algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Wir werden jedoch auf Ringe ganzer algebraischer Zahlen nur am Rande eingehen. Wichtiger sind für uns Körper als Koeffizientenbereiche algebraischer Gleichungen sowie Polynomringe über Körpern. Im folgenden wollen wir den Polynombegriff etwas näher erläutern. Polynome sind bei der Handhabung algebraischer Gleichungen und insbesondere algebraischer Körpererweiterungen von grundlegender Bedeutung.