Zusammenfassung
Da gewisse logische und allgemein-mathematische Begriffe, mit denen der angehende Mathematiker vielfach noch nicht vertraut ist, in diesem Buch Verwendung finden, soll ein kurzer Abschnitt über diese Begriffe vorangehen. Auf Grundlagenschwierigkeitenl soll dabei nicht eingegangen werden : wir stellen uns durchwegs auf den „naiven Standpunkt“, allerdings unter Vermeidung von paradoxienerzeugenden Zirkeldefinitionen. Der Fortgeschrittene braucht sich von diesem Kapitel blo ß die Bedeutung der Zeichen ∈, ⊂, ⊃, ⋂ und {..} zu merken und kann alles übrige übergehen.
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Referenzen
Für diese vergleiche man A. Fraenkel, Einführung in die Mengenlehre, 3. Aufl. (Berlin 1928)
sowie Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik. Berlin I (1934), II (1939) und die dort zitierte Literatur.
„Za,hl“ heißt vorläufig immer: natürliche Zahl.
Für den Beweis wie für die Beweise aller noch folgenden Sätze dieses Paragraphen verweisen wir den Leser auf das Büchlein von E. Landwu : Grundlagen der Analysis. Kap. 1. Leipzig 1930.
Eine Aussage „Alle A haben die Eigenschaft B“ wird immer als richtig betrachtet, wenn es überhaupt keine A gibt. Ebenso wird die Aussage „Aus E folgt F“ (wo E und F Eigenschaften sind, die gewissen Objekten x zukommen können oder nicht) als richtig betrachtet, wenn es keine x mit der Ei gensch aft E gibt. Das ist alles in Übereinstimmung mit der schon früher gemachte n Be merkung, daß die leere Menge in jeder Menge enthalten ist. Die Zweckmäßigkeit dieses in der Umgangssprache vielleicht richt so üblichen Wortgebrauchs ist z. B. daraus ersichtlich, daß nur so die Aussage „Aus E folgt F“ sich ausnahmslos in „Aus nicht-F folgt nicht-E“ verwandeln läBt. — Die Negation von „Aus E folgt (stets) F“ heißt : Es gibt ein x, für welches F. richtig und F falsch ist.
Diese Annahme schließt in sich, daß φ(1) durch die Relationen allein bestimmt wird ; denn es gibt keine Zahlen mehr, die der I vorangehen.
Für eine etwas andere Einführung der negativen Zahlen und der Null siehe E. Landau : Grundlagen der Analysis, Kap. 4.
Für andere Definitionen des Begriffs der endlichen Menge vgl. A. Tarski: Sur les ensembles finis, Fund. Math. 6 (1925).
Math. Ann. Bd. 59 (1904) S. 514; Math. Ann. Bd. 65 (1908) S. 107.
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van der Waerden, B.L. (1955). Zahlen und Mengen. In: Algebra 1. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01248-2_2
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