Dynamische Programmierung

Zusammenfassung

Während die bisher behandelten Probleme der Optimierungstheorie davon ausgingen, daß eine einzige Entscheidung in einem bestimmten Zeitpunkt getroffen werden soll, geht die dynamische Programmierung von einer Folge von Entscheidungen im Zeitablauf aus: Gegeben sind Zustandsvariable x _t = (x_t1, ... , x_tm,)′, die den Zustand eines Systems im Zeitpunkt t beschreiben. Der Zustand des Systems in t kann durch Steuer- oder Kontrollmaßnahmen verändert werden, die durch Kontrollvariable u _t =(u_t1...u_tn)′ beschrieben werden können. Die Beziehung zwischen dem Zustand in zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten t und t + 1 und den Kontrollmaßnahmen im Zeitpunkt t wird durch die Systemdynamik

$$ {\underline x _t} = gt({\underline x _{t - 1}},{\underline u _t})t = 1,...T $$

beschrieben. Die Wahl der Steuerungsmaßnahmen soll so erfolgen, daß das Zielfunktional

$$ Z = \sum\limits_{t = 1}^T {{f_t}({{\underline x }_{t - 1}},{{\underline u }_t}) + R({{\underline x }_T}) \Rightarrow \min !(bzw.\max !)} $$

optimiert wird. Dabei sind f_t(x _t−1, u _t) Gewinne (oder Kosten), die erzielt werden, wenn im Zustand x _t−1 im Zeitpunkt t die Steuerung u _t angewandt wird. R(x _T) gibt eine Bewertung des Endzustandes im Zeitpunkt T.