Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir die grundlegenden Konzepte der Speziellen Relativitätstheorie behandeln, welche für die Entwicklung der ART von großer Bedeutung sind. Die Grenzen der Galilei-Transformationen veranlassten Einstein zu zwei Postulaten, auf deren Grundlage er die SRT aufbaute. Die grundlegende Idee, Raum und Zeit zu vereinigen, führt uns zum Minkowski-Raum und zu den Lorentz-Transformationen. Wir werden feststellen, dass die neue Struktur der Raumzeit keinen absoluten Gleichzeitigkeitsbegriff zulässt. Es folgt daraufhin eine Abhandlung von Vektoren und Kovektoren im Minkowski-Raum. Im Zuge dessen werden wir auch den Tensorbegriff aufgreifen und mathematisch diskutieren. Am Ende des Kapitels werden einige zentrale Ergebnisse der SRT dargestellt.
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Notes
- 1.
Siehe [Ein05].
- 2.
Siehe [Min18, S. 66].
- 3.
Die Trennung von Raum und Zeit bei den Galilei-Transformationen zwischen IS und IS’ wird dadurch ersichtlich, dass die Zeitkoordinate \(t'\) nicht von den Raumkoordinaten \(\boldsymbol{r}\) abhängt (siehe Gl. (2.10)). Bei der Lorentz-Transformation werden wir später sehen, dass die transformierte Zeitkoordinate von den ursprünglichen Raumkoordinaten abhängt. Raum und Zeit lassen sich auch in der Newton’schen Auffassung als Galilei-Raumzeit zusammenfassen. Hier hat die Zeit absoluten Charakter. Siehe [Sch07, S. 245 ff.].
- 4.
Ein Nachweis lässt sich in [Wei72, S. 27] finden.
- 5.
Ein mathematischer Zugang, der den Begriff Isometrie verwendet, lässt sich in [Fis17, S. 278] finden. Um in diesem Teil die physikalische Sichtweise in den Vordergrund zu stellen, wird im Folgenden mit dem Wegelement argumentiert.
- 6.
Der Pfeil nach oben bedeutet \({\Lambda ^{0}}_{0} \ge 1\) und das Pluszeichen \(\det (\Lambda )=1\).
- 7.
Die räumliche Orientierung der beiden IS ist gleich, d. h. wir betrachten keine Drehungen.
- 8.
Eine Herleitung lässt sich in [Fli16, S. 11] oder [Sch16, S. 26] finden.
- 9.
Siehe [Sch07, S. 229 f.] und [Mei19, S. 15 ff.]. Hierbei ist zu beachten, dass Meinel [Mei19] den Minkowski-Tensor mit umgekehrten Vorzeichen verwendet.
- 10.
Zuvor haben wir den Abstand zweier Ereignisse als licht-, zeit- und raumartig genannt. Da wir nun den Abstand eines Ereignisses zum Ursprung betrachten, ist die Bezeichnung eines Vektors bzw. Ereignisses durch diese Begriffe gerechtfertigt. Die Bezeichnung eines Vektors als licht-, zeit- und raumartig geht auf Minkowskis Vortrag Raum und Zeit im Jahr 1908 zurück. Siehe [Min18, S. 73].
- 11.
In [Sch10, S. 129 f.] wird unter Voraussetzung des Kausalitätsprinzips begründet, dass c die größte Übertragungsgeschwindigkeit für Signale und Informationen ist. Eine ausführlichere Behandlung des Lichtkegels lässt sich in [Sch07, S. 229 f.] oder [Mei19, S. 15] finden.
- 12.
Bei der Schreibweise, die an ein konsistentes Indexbild angepasst wurde, bezeichnet jeweils der obere Index die Zeile und der untere die Spalte.
- 13.
Wir nennen die Abbildung \({\textsf{S}}\), da wir mit dieser einen Index senken können.
- 14.
Wir bezeichnen \(\textsf{S}^{-1}\) mit \(\textsf{H}\), da wir mit dieser Abbildung einen Index heben können. In der mathematischen Literatur werden \(\textsf{S}\) und \(\textsf{H}\) auch mit den musikalischen Operatoren \(\flat \) und \(\sharp \) definiert.
- 15.
Für eine ausführlichere Diskussion sei auf diese genannten Lehrbücher verwiesen. In [Fis20] finden sich insbesondere verschiedene Beispiele. In [Wal16] ist außerdem eine ausführliche Diskussion der multilinearen Algebra enthalten, die für das Verständnis von Tensoren nützlich ist.
- 16.
Hier bezeichnet „Hom“ die Menge der Homomorphismen (also linearen Abbildungen) und „Bil“ die Menge der bilinearen Abbildungen.
- 17.
Auf der rechten Seite von Gl. (3.49) steht die Multiplikation zweier reeller Zahlen, da ein Kovektor angewendet auf einen Vektor eine reelle Zahl liefert.
- 18.
Hier bezeichnet „Mult“ die Menge der multilinearen Abbildungen.
- 19.
Vergleiche [Olo18, S. 32].
- 20.
Weitere Rechenregeln des Tensorprodukts sind in [Olo18, S. 32] zu finden.
- 21.
Die Eindeutigkeit folgt direkt aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. Wir definieren die Kontraktion an dieser Stelle für elementare Tensoren der Form \((\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{\omega })\). Allgemeine Tensoren sind allerdings Linearkombinationen von Tensoren in dieser elementaren Form. Die Kontraktion lässt sich jedoch in eindeutiger Weise auf den ganzen Vektorraum \(\otimes ^1_1V = V \otimes V^*\) linear fortsetzen. Siehe [Wal16, 132 ff.].
- 22.
Fassen wir die Koeffizienten des (1, 1)-Tensors als Matrix auf, wird durch Gl. (3.66) die enge Verbindung der Kontraktion zur Spurbildung einer Matrix deutlich.
- 23.
Vergleiche [New19, S. 107].
- 24.
Zur Verdeutlichung der Summation über den Index m wurde das Summenzeichen in Gl. (3.69) explizit notiert. Wegen der Einstein’schen Summenkonvention hätte es auch weggelassen werden können.
- 25.
Wir verwenden ab hier daher wieder die griechischen Indizes, z. B. \(\mu , \nu , \rho , \sigma \).
- 26.
Eine Begründung hierfür findet sich in [Fli16, S. 24].
- 27.
Benannt nach dem dänischen Physiker Ludvig Lorenz (1829–1891).
- 28.
Eine alternative Formulierung der homogenen Maxwell-Gleichungen gelingt über den dualen Feldstärketensor \(\tilde{F}^{\mu \nu } = - \frac{1}{2} \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma } F_{\rho \sigma }\) mit \(\epsilon _{0123} = 1\). Diese lassen sich dann schreiben als \(\partial _\mu \tilde{F}^{\mu \nu } = 0\). Siehe [Sch10, S. 155].
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Scharfe, L. (2022). Spezielle Relativitätstheorie. In: Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie. BestMasters. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-40361-4_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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