Zusammenfassung
In diesem Kapitel diskutieren wir die gängigen Zinsmodelle und Zinsderivate, wobei wir uns allerdings auf ‘’short-rate’’ Modelle konzentrieren. Dazu müssen wir zunächst einige Zinssätze definieren; es stellt sich heraus, dass diese via Preise von Zero-Coupon Bonds gegeben sind. Diese Zinssätze sind die Basiswerte für die zu betrachteten Zinsderivate; deren Preise sind – einmal mehr – als Erwartungswerte gegeben. Um diese zu berechnen, verwenden wir ähnlich zur Modellierung von Aktienkursen stochastische Prozesse zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung der zuvor definierten Zinssätze. Wir bewerten unter anderem Rückrufbare Anleihen im Vasicek- und CIR Modell sowie Swaps und Swaptions im G2++ Modell. Zusätzlich beschreiben wir, wie man Zinskurven aus Marktpreisen von Anleihen bestimmen kann. Dies führt wiederum auf ein nicht-lineares Regressionsproblem.
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Notes
- 1.
Wir verwenden in diesem Text nicht den deutschen Ausdruck „Nullkuponanleihe“.
- 2.
Allgemeiner müssten wir hier von einer Währungseinheit sprechen. Wir nehmen beispielhaft den Franken.
- 3.
Benannt nach dem amerikanischen Ökonomen Charles R. Nelson und dem amerikanischen Statistiker Andrew F. Siegel.
- 4.
Benannt nach dem schwedischen Wirtschaftswissenschaftler Lars O.E. Svensson (1947–).
- 5.
Die SNB veröffentlicht unter anderem auch den Parametervektor \(\boldsymbol{\eta}_{ \textrm{SNB}}\); die Kassazinssätze in den Spalten „SNB“ der Tab. 12.2 werden aus (12.43) und \(\boldsymbol{\eta}_{ \textrm{SNB}}\) berechnet. Obwohl die hier erhaltene Zinskurve sehr gut mit der Kurve der SNB übereinstimmt, kann der Parametervektor \(\widehat{\boldsymbol{\eta}}\) wegen der diskutierten vielen lokalen Minima vom Parametervektor \(\boldsymbol{\eta}_{ \textrm{SNB}}\) abweichen: verschiedene \(\boldsymbol{\eta}\) minimieren lokal die Funktion \(F(\boldsymbol{\eta})\).
- 6.
Wir nennen hier viele Personen: Oldrich A. Vasicek, tschechischer Mathematiker, (1942–), John C. Cox, amerikanischer Ökonom, (1943–), Jonathan E. Ingersoll, amerikanischer Ökonom, (1949–), Stephen A. Ross, amerikanischer Ökonom, (1944–), John C. Hull, Finanzmathematiker, (1946–), Alan D. White, Ökonom, Thomas Ho, Finanzmathematiker, Sang Bin Lee, koreanischer Ökonom, Piotr Karasinksi, polnischer Physiker.
- 7.
Im Gegensatz zu einer charakteristischen Funktion hängen die Funktionen \(\alpha\) und \(\beta\) nicht von \(u\) ab.
- 8.
Genauer handelt es sich hier um einen „payer“ Swap.
- 9.
Der Cashflow \(-1-\tau_{i}K\) Zeitpunkt \(T_{i}\) ist zum Zeitpunkt \(t\) \((-1-\tau_{i}K)P(t,T_{i})\) wert (mit \(P(t,T_{i})\) abzinsen). Den Cashflow \(1/P(T_{i-1},T_{i})\) zum Zeitpunkt \(T_{i}\) können wir wie folgt erzeugen. Zum Zeitpunkt \(t\) kaufen wir einen \(T_{i-1}\)-Bond; dafür bezahlen wir \(P(t,T_{i-1})\). Zum Zeitpunkt \(T_{i-1}\) erhalten wir vom auslaufenden \(T_{i-1}\)-Bond einen Franken, gleichzeitig kaufen wir \(1/P(T_{i-1},T_{i})\) Franken vom \(T_{i}\)-Bond. Dafür bezahlen wir einen Franken, womit unsere Nettoinvestition zum Zeitpunkt \(T_{i-1}\) Null beträgt. Zum Zeitpunkt \(T_{i}\) erhalten wir \(1/P(T_{i-1},T_{i})\) Franken. Somit entspricht der Casflow \(1/P(T_{i-1},T_{i})\) zum Zeitpunkt \(T_{i}\) dem Cashflow \(P(t,T_{i-1})\) zum Zeitpunkt \(t\)
Literatur
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Hilber, N. (2023). Zinsmodelle und Zinsderivate. In: Bewertung von Finanzderivaten mit Python. Springer Gabler, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-39210-9_12
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