Zusammenfassung
Jeder endliche Modul, dessen Zahlen sämmtlich dem quadratischen Körper \(\varOmega \) angehören, lässt sich (nach §. 172, VI) immer auf eine Basis zurückführen, welche aus höchstens zwei Zahlen besteht, und wir wollen im Folgenden unter einem Modul, falls das Gegentheil nicht ausdrücklich bemerkt wird, immer einen solchen zweigliedrigen Modul
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Notes
- 1.
Vergl. die beiden folgenden Anmerkungen.
- 2.
Es ist wohl von Nutzen, hier zu bemerken, dass schon bei Körpern dritten Grades ein ähnlicher Satz nicht in voller Allgemeinheit gilt, und dasselbe ist von mehreren der nachfolgenden Sätze zu sagen.
- 3.
Will man auch bei Körpern höheren Grades den Begriff der Norm \(N(\mathfrak {m})\) jedes endlichen Moduls \(\mathfrak {m}\), dessen Basis zugleich eine Basis des Körpers ist, so fassen, dass der Satz (19) allgemein gilt, und dass, falls \(\mathfrak {m}\) ein Ideal ist, \(N(\mathfrak {m})\) die alte Bedeutung \((\mathfrak {o},\mathfrak {m})\) behält, so muss man, weil \(N(\mathfrak {o})=1\) und \(\mathfrak {om}\) ein Idealbruch ist, die obige Definition (9) durch
$$\begin{aligned} N(\mathfrak {m})=N(\mathfrak {om})=\frac{(\mathfrak {o},\mathfrak {om})}{(\mathfrak {om},\mathfrak {o})} \end{aligned}$$ersetzen (vergl. die Anm. auf S. 564–565). Dass schon bei Körpern dritten Grades diese beiden Definitionen nicht übereinstimmen, lehrt folgendes einfache Beispiel. Ist \(a^3=2\), so ist \(\mathfrak {o}=[1,\ a,\ a^2]\) der Inbegriff aller ganzen Zahlen des aus a gebildeten Körpers R(a); ist nun m eine ungerade Zahl und \(>1\), ferner \(\mathfrak {m}=[m,\ a,\ a^2]\), so wird \(\mathfrak {om}=\mathfrak {o}\), also \((\mathfrak {o},\mathfrak {om})=(\mathfrak {om},\mathfrak {o})=1\); andererseits ist die Ordnung \(\mathfrak {m}^0=[1,\ ma,\ ma^2]\), also \(\mathfrak {m}+\mathfrak {m}^0=\mathfrak {o}\), \((\mathfrak {m}^0,\mathfrak {m})=(\mathfrak {o},\mathfrak {m})=m\), \((\mathfrak {m},\mathfrak {m}^0)=(\mathfrak {o},\mathfrak {m}^0)=m^2\), woraus unsere Behauptung einleuchtet; die dem Modul \(\mathfrak {m}\) entsprechende zerlegbare Form (S. 590) ist auch nicht ursprünglich, sondern sie besitzt den Theiler m. Man findet ferner \(\mathfrak {m}^{-1}=\mathfrak {mm}^{-1}=\mathfrak {m}^0:\mathfrak {o}=\mathfrak {om}\), also ist \(\mathfrak {m}\) ein uneigentlicher Modul (S. 506). Da zugleich \(\mathfrak {m}^2=\mathfrak {o}\), also \((\mathfrak {mm})^0\) nicht \(=\mathfrak {m}^0\mathfrak {m}^0=\mathfrak {m}^0\), sondern \(=\mathfrak {o}\) ist, so gilt auch der obige Satz (20) nicht allgemein für Körper höheren Grades.
- 4.
Hieraus folgt in Verbindung mit der aus (31) leicht abzuleitenden Gleichung \(q'\omega +q''\omega '_1=q'''=q'\omega '+q''\omega _1\) ein für die Theorie der complexen Multiplication der elliptischen Functionen sehr wichtiger Satz (vergl. meinen Aufsatz (§. 7) über die Theorie der elliptischen Modul-Functionen in Crelle’s Journal, Bd. 83)
- 5.
Vergl. Arndt: Auflösung einer Aufgabe in der Composition der quadratischen Formen (Crelle’s Journal, Bd. 56).
- 6.
Vergl. §. 146. Die allgemeinste Art der Composition der binären quadratischen Formen, wie sie von Gauss dargestellt ist (D. A. artt. 235, 236), erhält man, wenn man statt der speciellen Darstellungsform (2) der Moduln die allgemeinere Form (1) zu Grunde legt; dies ist in §. 170 der zweiten Auflage dieses Werkes (1871) geschehen, wo ich auch für die quadratischen Formen schon den Ausdruck \((a, \frac{1}{2}b, c)\) statt (a, b, c) gewählt habe (vergl. die Anmerkung auf S. 388 und eine Mittheilung von Kronecker im Sitzungsbericht der Berliner Akademie vom 30. Juli 1885).
- 7.
Zugleich ist \(\mathfrak {m}[1, \alpha ] = [1, \alpha ]\), und damit \(\mathfrak {m}\) auch der Bedingung (39) genüge, ist erforderlich und hinreichend, dass die Ordnung \([1,\alpha ]\) durch die Ordnung \(n_2\) theilbar sei.
- 8.
Vergl. meine auf S. 648 citirte Schrift (§. 1).
- 9.
Dieselbe Aufgabe habe ich für beliebige Körper in der auf S. 580 citirten Festschrift behandelt.
- 10.
\(u=[1, \eta ];\ \eta =\frac{d+\sqrt{q}}{2};\ \eta ^2-d\eta +\frac{d^2-d}{4}=0\)
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Scheel, K. (2020). Moduln in quadratischen Körpern (§ 187.). In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_31
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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Online ISBN: 978-3-658-30928-2
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