Zusammenfassung
Als zweites und letztes Beispiel, auf welches wir unsere allgemeine Idealtheorie anwenden wollen, wählen wir das der quadratischen Körper, weil dasselbe mit dem Hauptgegenstande dieses Werkes, der Theorie der binären quadratischen Formen, im engsten Zusammenhange steht.
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Notes
- 1.
Man findet auch leicht, dass \(\mathfrak {p}=[p,\pi ]\), \(\mathfrak {p'}=[p,\pi ']\) ist, und wir empfehlen dem Leser, die Gleichung \(\mathfrak {pp'}=op\) durch wirkliche Ausführung der Multiplication zu verificiren, wobei es darauf ankommt, den viergliedrigen Modul \([p^2,p\pi , p\pi ', \pi \pi ']\) nach §. 172 auf einen zweigliedrigen zu reduciren (vergl. §. 187).
- 2.
Hierzu bemerken wir Folgendes. Sind die Primideale eines Normalkörpers bekannt, so gilt dasselbe, wie demnächst an einem anderen Orte gezeigt werden soll, auch für jeden Divisor dieses Körpers. Nun ist, wie wir schon in der Schlussbemerkung zu §. 175 gesagt haben, unser quadratischer Körper \(\varOmega \) ein Divisor desjenigen Normalkörpers, welcher aus einer primitiven \(D^{{\text {ten}}}\) Wurzel der Einheit entspringt, und da die Ideale dieses Kreistheilungs-Körpers nach den in §. 185 (S. 618) angegebenen Sätzen bekannt sind, so folgt daraus auch die Bestimmung der Ideale des quadratischen Körpers \(\varOmega \), aber in einer anderen als der obigen Form, nämlich so, dass die Zerlegung von \(\mathfrak {op}\) in Primideale sich unmittelbar aus der Zahlclasse ergiebt, welcher die Zahl p nach dem Modul D angehört. Aus der Vergleichung beider Formen ergiebt sich abermals ein Beweis des Reciprocitätssatzes.
- 3.
Eine erfolgreiche Verallgemeinerung dieses Symbols findet sich in der Abhandlung von H.Weber: Zahlentheoretische Untersuchungen aus dem Gebiete der elliptischen Functionen (Nachr. v. d. Göttinger Ges. d. W., 18. Januar 1893).
- 4.
Dieselbe ist im Wesentlichen von Kronecker geschaffen und in zahlreichen Schriften behandelt, deren Sammlung bevorsteht. Vergl. die Abhandlungen von Hermite: Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l’équation du cinquième degré (1859), ferner die Werke von H. Weber: Elliptische Functionen und algebraische Zahlen (1890) und von F. Klein und R. Fricke: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen (1890 bis 1892).
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Scheel, K. (2020). Quadratische Körper (§ 186.). In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_30
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-658-30927-5
Online ISBN: 978-3-658-30928-2
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