Beispiel aus der Kreistheilung (§ 185.)

Scheel, Katrin

doi:10.1007/978-3-658-30928-2_29

Katrin Scheel²

435 Accesses

Zusammenfassung

Um den Nutzen und die Bedeutung unserer bisherigen Untersuchungen erkennen zu lassen, deren Resultate nur die ersten Elemente einer allgemeinen Zahlentheorie bilden, wollen wir dieselben auf zwei bestimmte Beispiele anwenden, die zugleich in unmittelbarem Zusammenhange mit dem Hauptgegenstande dieses Werkes stehen.

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Notes

1.
Die bezüglichen, zuerst in Crelle’s Journal (Bdde. 35, 40) veröffentlichten Untersuchungen sind zusammengestellt in der Abhandlung: Sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et de nombres entiers (Liouville’s Journal, Bd. 16, 1851), und eine Ergänzung derselben findet sich in der Abhandlung: Ueber die den Gaussischen Perioden der Kreistheilung entsprechenden Congruenzwurzeln (Crelle’s Journal, Bd. 53). – Vergl. Bachmann: Die Lehre von der Kreistheilung (Vorl. 17, 18) und meine Anzeige dieses Werkes in Schlömilch’s Zeitschrift für Math. u. Phys., Jahrgang 18 (1873), Literaturzeitung S. 14 bis 24, 43.
2.
Gauss: D. A. art. 341.
3.
Mémoire sur une classe particulière d’équations résolubles algébriquement (OEuvres complètes de Abel, t. 1, oder Crelle’s Journal, Bd. 4). Der wichtige Satz von Kronecker (Monatsber. der Berliner Akademie 1853), dass jeder Abel’sche Körper auf rationale Weise aus Einheitswurzeln entsteht, ist vollständig bwiesen von H. Weber (Theorie der Abel’schen Zahlkörper, Acta Mathematica, Bd. 8 und 9).
4.
Ist m eine beliebige natürliche Zahl, so hat der aus einer primitiven Wurzel $\theta $ der Gl. (1) entspringende Körper $\varOmega $ den Grad $\phi (m)$; ist p eine Primzahl, $p'$ die höchste in $m=p'm'$ aufgehende Potenz von p, und gehört p zum Exponenten $f(\text { mod.}\;m')$, so ist $\phi (m')=ef$ (§. 28), und
$$\begin{aligned} \mathfrak {o}p=(\mathfrak {p}_1\mathfrak {p}_2\ldots \mathfrak {p}_e)\phi (p'), \end{aligned}$$
wo $\mathfrak {p}_1$, $\mathfrak {p}_2\ldots \mathfrak {p}_e$ von einander verschiedene Primideale von Grade f bedeuten; ist ferner $p'>1$, so ist
$$\begin{aligned} \mathfrak {o}(1-\theta ^{m'})=\mathfrak {p}_1\mathfrak {p}_2\ldots \mathfrak {p}_e. \end{aligned}$$
Vergl. Kummer: Theorie der idealen Primfactoren der complexen Zahlen, welche aus den Wurzeln der Gleichung $\omega ^n=1$ gebildet sind, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist (Abh. d. Berliner Ak. 1856). – Für alle in einem solchen Körper $\varOmega $ als Divisoren enthaltenen Körper, zu denen auch die quadratischen Körper gehören, habe ich die Bestimmung der Primideale als Resultat einer allgemeinen Untersuchung mitgetheilt, welche ich demnächst zu veröffentlichen gedenke (Sur la théorie des nombres entiers algébriques, §. 27, und Compte rendu der Pariser Ak. von 24. Mai 1890); über specielle Fälle solcher Divisoren vergl. Eisenstein: Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabelen, welche der Kreistheilung ihre Entstehung verdanken (Crelle’s Journ. Bd. 28); Fuchs: Ueber die aus Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen von periodi-schem Verhalten, insbesondere die Bestimmung der Klassenanzahl derselben (Crelle’s Journ. Bd. 65); Bachmann: Die Theorie der complexen Zahlen, welche aus zwei Quadratwurzeln zusammengesetzt sind (Berlin 1867).
5.
Schönemann: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der höheren Congruenzen. deren Modul eine reelle Primzahl ist. §. 50. (Crelle’s Journal, Bd. 31). – Gauss: Disquisitiones generales de congruentiis, artt. 360–367 (Werke, Bd. II, 1863).
6.
Gauss: D. A. artt. 343, 348.
7.
Vergl. unten (59) und die Anmerkung auf S. 631.
8.
Gauss: D. A. artt. 348, 351.
9.
Ein überaus reiches Material findet man in dem Werke von Reuschle: Tafeln complexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind. 1875.
10.
Gauss: D. A. art. 345.
11.
Ebenso folgt aus der Annahme $\eta \equiv 1\ (\text {mod.}\;\mathfrak {p})$ mit Bestimmtheit $\eta _1\equiv 0$, $\eta _2\equiv -1$, $\eta _3\equiv -1\ (\text {mod.}\;\mathfrak {p})$. Dagegen entsprechen der Annahme $\eta \equiv -1\ (\text {mod.}\;\mathfrak {p})$ zwei verschiedene Systeme, wie aus $\eta _2\eta _3=-1-\eta \equiv 0\ (\text {mod.}\;\mathfrak {p})$ hervorgeht; entweder ist $\eta _1\equiv 1$, $\eta _2\equiv 0$, $\eta _3\equiv -1$, oder es ist $\eta _1\equiv -1$, $\eta _2\equiv -1$, $\eta _3\equiv 0\ (\text {mod.}\;\mathfrak {p})$.
12.
Das auch Dirichlet dieselbe Aufgabe, aber in anderer Einkleidung gelöst hat, berichtet Kummer in seiner ausgezeichneten Gedächtnisrede auf Gustav Peter Lejeune-Dirichlet (1860, S. 21 bis 22) mit den Worten: „Für diejenigen zerlegbaren Formen höherer Grade, deren lineare Factoren keine anderen Irrationalitäten, als Einheitswurzeln für einen Primzahl-Exponenten, enthalten, hat Dirichlet während seines Aufenthalts in Italien die Klassenzahl bestimmt, aber er hat von dieser Arbeit leider nichts veröffentlicht.“
13.
Genau dasselbe gilt auch, wenn die Differenz m der arithmetischen Progression eine zusammengesetzte Zahl ist.
14.
Will man sich hierauf nicht berufen, so leuchtet doch ein, dass das fragliche Product rational ist, weil man es als eine Norm oder als ein Product mehrerer Normen in denjenigen Körpern ansehen kann, welche den Wurzeln der Gl. (63) entsprechen.
15.
Natürlich ist dies Resultat von der bei dem Beweise gemachten speciellen Annahme über c gänzlich unabhängig.
16.
Dieselbe ist von Kummer mit $P'(m)$ bezeichnet.
17.
Vergl. Baltzer: Theorie und Anwendung der Determinanten, §. 11, 2. (vierte Auflage, 1875).
18.
Zur Bestimmung dieser Zahl nach (74) ist die Kenntniss eines Fundamentalsystems S erforderlich, welches aber bis jetzt, selbst in den einfachsten Fällen, nur durch äusserst beschwerliche Rechnungen zu erlangen ist.
19.
Offenbar ist 2mb die Anzahl der in Bezug auf das System T reducirten Einheiten.

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Institut Computational Mathematics AG PDE, Technische Universität Braunschweig, Braunschweig, Deutschland
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Scheel, K. (2020). Beispiel aus der Kreistheilung (§ 185.). In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_29

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Published: 20 October 2020
Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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