Einheiten eines endlichen Körpers (§ 183.)

Zusammenfassung

Von der grössten Wichtigkeit für die Theorie der in einem endlichen Körper $\varOmega$ enthaltenen ganzen Zahlen ist die Frage nach dem Inbegriff aller unter ihnen befindlichen Einheiten (§§. 174, 176). Im Körper R der rationalen Zahlen giebt es nur die beiden Einheiten $\pm 1$ und dasselbe gilt für alle quadratischen Körper von negativer Grundzahl D, mit Ausnahme der beiden Fälle $D=-3$ und $D=-4$, in welchen sechs resp. vier Einheiten vorhanden sind. Bei allen anderen Körpern ist aber die Anzahl der Einheiten stets unendlich gross, und es ist äusserst schwierig gewesen, den Zusammenhang zwischen allen diesen Einheiten genau zu ergründen und in der einfachsten Form darzustellen; für den Fall der quadratischen Körper von positiver Grundzahl D fällt diese Frage im Wesentlichen zusammen mit der Auflösung der Pell’schen Gleichung $t^2-Du^2=4$, und wir haben schon früher bemerkt, dass die Existenz solcher Lösungen t, u, in welchen u nicht verschwindet, zuerst von Lagrange bewiesen ist.