Idealclassen und deren Composition (§ 181.)

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, dass jedes Ideal $\mathfrak {a}$ durch Multiplication mit einem geeigneten Ideal $\mathfrak {m}$ in ein Hauptideal $\mathfrak {am}$ verwandelt werden kann (§. 177, IX), und wollen nun zwei Ideale $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {a}'$ äquivalent nennen, wenn beide durch Multiplication mit einem und demselben Factor $\mathfrak {m}$ in Hauptideale $\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu$, $\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$ übergehen; dann ist $\mathfrak {a}\mu '=\mathfrak {a}'\mu$, und wenn man die (ganze oder gebrochene) Zahl $\mu '\mu ^{-1}=\eta$ setzt, so wird $\mathfrak {a}'=\mathfrak {a}\eta$. Umgekehrt, wenn es eine Zahl $\eta$ giebt, welche dieser Bedingung genügt, so sind die Ideale $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {a}'$ äquivalent, weil dann aus $\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu$ auch $\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$ folgt, wo $\mu '=\mu \eta$ gewiss eine ganze Zahl ist. Zugleich ergiebt sich hieraus, dass jeder Factor $\mathfrak {m}$, welcher das eine von zwei äquivalenten Idealen $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {a}'$ in ein Hauptideal verwandelt, Gleiches auch für das andere Ideal leistet, und dass folglich je zwei Ideale $\mathfrak {a}'$, $\mathfrak {a}''$, die mit einem dritten Ideal $\mathfrak {a}$ äquivalent sind, stets auch mit einander äquivalent sein müssen.