Normen der Ideale. Congruenzen (§ 180.)

Scheel, Katrin

doi:10.1007/978-3-658-30928-2_24

Katrin Scheel²

437 Accesses

Zusammenfassung

Nachdem in den §§. 177 bis 179 die Theorie der Theilbarkeit der Ideale und also auch der Zahlen in $\mathfrak {o}$ vollständig erledigt ist (vergl. §§. 1 bis 10), wenden wir uns zur Betrachtung der auf Ideale bezüglichen Zahlclassen und Congruenzen von Zahlen in $\mathfrak {o}$. Ist $\mu $ von Null verschieden, so ist $\mathfrak {o}\mu $ ein Hauptideal, und wir haben schon (in §. 176, II) bewiesen, dass

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Notes

1.
Die vorstehenden Sätze gelten auch für die in der Anmerkung zu §. 178, S. 560 besprochenen Idealbrüche $\mathfrak {i}$, wenn deren Norm durch
$$\begin{aligned} N(\mathfrak {i})=\frac{(\mathfrak {o},\mathfrak {i})}{(\mathfrak {i},\mathfrak {o})} \end{aligned}$$
erklärt wird. Wählt man die ganze Zahl $\alpha $ so, dass $\mathfrak {i}\alpha $ ein Ideal wird, so ergiebt sich leicht aus $(\mathfrak {o},\mathfrak {i})=(\mathfrak {o}\alpha ,\mathfrak {i}\alpha )=(\mathfrak {o}\alpha +\mathfrak {i}\alpha ,\mathfrak {i}\alpha )$ und $(\mathfrak {i},\mathfrak {o})=(\mathfrak {i}\alpha ,\mathfrak {o}\alpha )=(\mathfrak {o}\alpha +\mathfrak {i}\alpha ,\mathfrak {o}\alpha )$, dass $N(\mathfrak {i})N(\mathfrak {o}\alpha )=N(\mathfrak {i}\alpha )$, und folglich allgemein
$$\begin{aligned} N(\mathfrak {i})=\frac{N(\mathfrak {b})}{N(\mathfrak {a})}=\frac{(\mathfrak {a},\mathfrak {b})}{(\mathfrak {b},\mathfrak {a})} \end{aligned}$$
ist, wo $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ irgend zwei Ideale bedeuten, welche der Bedingung $\mathfrak {ai}=\mathfrak {b}$, d. h. $\mathfrak {b}:\mathfrak {a}=\mathfrak {i}$ genügen.
2.
Hieraus kann keine Zweideutigkeit entspringen, weil durch das Ideal $\mathfrak {m}$ auch der Körper $\varOmega $, also die Bedeutung von $\phi (\mathfrak {m})$ vollständig bestimmt ist; aus diesem Grunde ersetze ich das in der dritten Auflage (§. 174) gewählte Zeichen $\psi $ jetzt durch $\phi $.
3.
Vergl. meine von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgegebenen Abhandlungen Ueber den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen (Bd. 23, 1878) und Ueber die Discriminanten endlicher Körper (Bd. 29, 1882), ferner die Abhandlung von Stickelberger: Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung (Math. Annalen, Bd. 37).
4.
Vergl. meine auf S. 61 citirte Abhandlung art. 6.
5.
A.a. O. art. 19.
6.
Vergl. §. 7 meiner Abhandlung Ueber die Discriminanten endlicher Körper (Göttingen 1882).

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Scheel, K. (2020). Normen der Ideale. Congruenzen (§ 180.). In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_24

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Published: 20 October 2020
Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-658-30927-5
Online ISBN: 978-3-658-30928-2
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