Relative Primideale (§ 178.)

Zusammenfassung

Der grösste gemeinsame Theiler $\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$ und das kleinste gemeinsame Vielfache $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ von zwei Idealen $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ sind ebenfalls Ideale. denn jedenfalls sind die Moduln $\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$ und $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar durch $\mathfrak {o}$, weil dasselbe von $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$ gilt; da nun $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar ist durch $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$, so ist $\mathfrak {o}(\mathfrak {a}-\mathfrak {b})$ theilbar durch $\mathfrak {oa}$ und $\mathfrak {ob}$, d. h. durch $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$, also auch durch $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$; und da das von Null verschiedene Product $\mathfrak {ab}$ (nach §. 177, IV) durch $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar ist, so ist $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ auch von Null verschieden und folglich ein Ideal.