Zusammenfassung
Es sei \(\varOmega \) ein endlicher Körper \(n^{\text {ten}}\) Grades; derselbe besitzt, wie schon früher (am Schlusse von §. 167) bemerkt ist, n und nur n verschiedene Permutationen \(\pi _1\), \(\pi _2\ldots \pi _n\), unter denen sich auch die identische Permutation befindet, und wir wollen, wenn \(\omega \) irgend eine Zahl in \(\varOmega \) bedeutet, die conjugirten Zahlen \(\omega \pi _1\), \(\omega \pi _2\ldots \omega \pi _n\) kurz mit \(\omega '\), \(\omega ''\ldots \omega ^{(n)}\) bezeichnen.
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Notes
- 1.
Auf dieselbe Weise ergiebt sich aus den Gleichungen (5) und (36) in §. 167, dass die zu allen Basen des Moduls \(\mathfrak {a}\) complementären Basen auch Basen eines und desselben Moduls sind, den man deshalb das Complement von \(\mathfrak {a}\) nennen und mit \(\mathfrak {a}'\) bezeichnen kann; umgekehrt ist dann \(\mathfrak {a}\) das Complement von \(\mathfrak {a}'\), und \(\triangle (\mathfrak {a})\triangle (\mathfrak {a}')=1\). Verbindet man ferner die dortigen Sätze über complementäre Systeme ebenfalls mit dem Satze VII in §. 172, so erhält man die wichtigen Sätze
$$\begin{aligned} (\mathfrak {a}\mathfrak {b})=(\mathfrak {b}'\mathfrak {a}')\, ,\quad (\mathfrak {a}+\mathfrak {b})'=\mathfrak {a}'-\mathfrak {b}'\, ,\, (\mathfrak {a}\omega )'=\mathfrak {a}'\omega ^{-1}\, ,\, (\mathfrak {a}\mathfrak {b})'=\mathfrak {a}':\mathfrak {b}', \end{aligned}$$welche in meiner (in §. 167 citirten) Abhandlung Ueber die Discriminanten endlicher Körper weiter verfolgt sind.
- 2.
Vergl. die Anmerkungen auf S. 522, 511.
- 3.
Um schon hier einen Begriff von der Bedeutung der Grundzahl D zu geben, wollen wir nur darauf aufmerksam machen, dass (zufolge §. 52, I-IV) die natürlichen Primzahlen p, von welchen d quadratischer Rest ist, immer in arithmetischen Reihen von der kleinsten Differenz D enthalten sind; diese Zahlen p verlieren in dem quadratischen Körper \(\varOmega \) den eigentlichen Primzahl-Charakter, und dem in dieser Form ausgesprochenen Gesetze fügt sich auch die Zahl \(p=2\) (vergl. §. 186). Dies aus dem Reciprocitätssatze abgeleitete Gesetz der Vertheilung in arithmetische Reihen hängt wesentlich damit zusammen, dass \(\varOmega \) ein Divisor desjenigen Kreistheilungs-Körpers \(R(\theta )\) ist, welcher aus der Gleichung \(\theta ^D=1\) entspringt, während aus jeder Gleichung \(\theta ^m=1\), deren Grad m absolut \(<D\), immer ein Körper \(R(\theta )\) entspringt, welcher die Zahl \(\sqrt{d}\) nicht enthält.
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Scheel, K. (2020). System der ganzen Zahlen eines endlichen Körpers (§ 175.). In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_19
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_19
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-658-30927-5
Online ISBN: 978-3-658-30928-2
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