Zusammenfassung
Bedenkt man, welche Umgestaltungen andere Theile der Mathematik, z. B. die Theorie der elliptischen Functionen, seit ihren ersten Anfängen im Laufe der Zeit erlitten haben, so wird man es für sehr wahrscheinlich halten, dass auch für die Idealtheorie noch einfachere Grundlagen, als die bisher bekannten, aufgefunden werden. Als eine solche Grundlage kann z. B. der von mir aus der Idealtheorie abgeleitete Satz (S. 465, 541, 577 der zweiten dritten, vierten Auflage dieses Werkes) über den grössten gemeinsamen Theiler von zwei beliebigen ganzen algebraischen Zahlen angesehen werden, und ich habe schon vor vielen Jahren versucht, diesen Weg einzuschlagen; hierbei ist es mir zwar nicht gelungen, eine wesentliche Vereinfachung zu erzielen, weil ich den unmittelbaren Beweis dieses Satzes doch nur mit denselben Hülfsmitteln führen konnte, welche im Wesentlichen auch meiner Theorie der Ideale zu Grunde liegen; [...].
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Notes
- 1.
Carl-Friedrich Gauß (1777–1855)
- 2.
Scharlau, W.: Richard Dedekind 1831–1981. Braunschweig (1981). S. 59–108.
- 3.
Siehe Scheel, K.: Der Briefwechsel Richard Dedekind – Heinrich Weber. Hrsg. Thomas Sonar, unter Mitarbeit v. Karin Reich. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Hamburg 5. De Gruyter Akademie Forschung. Berlin (2014).
- 4.
Heinrich Weber (1842–1913).
- 5.
Riemann, B.: Gesammelte mathematische Werke und der wissenschaftliche Nachlass. Hrsg. unter Mitwirkung von Richard Dedekind und Heinrich Weber. Leipzig (1876).
- 6.
Dedekind, R.; Weber, H.: Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 92 (1882). S. 181–299.
- 7.
Gauß, C.-F.: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig (1801).
- 8.
Siehe Dedekind, R.: Was sind und was sollen die Zahlen. Setigkeit und Irrationale Zahlen. Hrsg. Stefan Müller-Stach. Berlin (2017). S. 23–25.
- 9.
Dedekind, R.: Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler. In: Festschrift der Technischen Hochschule zu Braunschweig bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte 1897. Braunschweig (1897). S. 1–40. und Dedekind, R.: Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Mathematische Annalen 53 (1900). S. 371–403.
- 10.
Siehe Mehrtens, H.: Die Entstehung der Verbandstheorie. Hildesheim (1979). Kap. 2.
- 11.
Dedekind R.: Abriß einer Theorie der höheren Congruenzen in Bezug auf einen rellen Primzahl – Modulus. Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 (1856). S. 1–26.
- 12.
Artin, E.: Quadratische Körper im Gebiet der höheren Kongruenzen. Math. Zeitsch. 19 (1924), S. 153–246.
- 13.
Dirichlet, P. G. Lejeune: Mémoire sur l’impossibilité de quelques Équations indéterminés du cinquième degré. 11. Juni 1825. Nachdruck in Dirichlet, G. Lejeune: Werke. Hrsg. L. Kronecker. Bd. 1. Berlin (1889). S. 1–20, 21–46.
- 14.
Adrien-Marie Legendre (1752–1833).
- 15.
Alexander von Humboldt (1769–1859).
- 16.
Dirichlet, P. G. Lejeune: De formis linearibus, in quibus continentur divisores primi quarumdam formularum graduum superiorum commentatio. Nachdruck in Dirichlet, G. Lejeune: Werke. Hrsg. L. Kronecker. Bd. 1. Berlin (1889). S. 47–62.
- 17.
Dirichlet, P. G. Lejeune: Recherches sur les diviseurs premiers d’une classe de formules du quatrième degré. Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 3. S. 35–69. (1828).
- 18.
Dirichlet, P. G. Lejeune: Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des
puissances. Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 9. S. 390–393. (1832). - 19.
Aus einem Brief von Richard Dedekind an seine Schwester Julie. 12. Juli 1856.
- 20.
Dirichlet, P. G. Lejeune: Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen. Ed. G. Arendt. Braunschweig (1904). Grube, F. (Ed.): Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte von P. G. Lejeune Dirichlet. Leipzig (1876), zweite Auflage (1887). Meyer, G. F.: Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen mit vorzüglicher Berücksichtigung der von P. Gustav Lejeune Dirichlet im Sommer 1858 gehaltenen Vorträge über bestimmte Integrale. Leipzig (1871).
- 21.
Siehe Vorwort zu Dirichlet, P. G. Lejeune: Vorlesungen über Zahlentheorie. Hrsg. und mit Zusätzen versehen von Richard Dedekind. 1. Auflage, Braunschweig (1863).
- 22.
Pierre de Fermat (1607–1665).
- 23.
Leonard Euler (1707–1783).
- 24.
Joseph Louis Lagrange (1736–1813).
- 25.
Lagrange, J. L.: Recherches d’arithmétique. Nachdruck in Lagrange, J. L.: Oeuvres. Bd. 3. Paris (1867–1892). S. 695–795.
- 26.
Adrien Marie Legende (1752–1833).
- 27.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).
- 28.
Siehe Scheel, K.: Der Briefwechsel Richard Dedekind – Heinrich Weber. Berlin (2014). S. 137 ff.
- 29.
Dedekind, R.: Sur la théorie des nombres entiers algébriques. Bulletin des sciences mathématique et astronomique 11 (1876). S. 278–288; (2) 1 (1877). S. 14–24, 66–92, 144–164, 207–248.
- 30.
Dedekind, R.: Gesammelte mathematische Werke. Hrsg. von Robert Fricke, Emmy Noether, Øystein Ore. 3 Bde. Braunschweig (1930–1932). S. 466.
- 31.
Dedekind, R.: Über die Zerlegung von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler. In: Festschrift der Technischen Hochschule zu Braunschweig bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte 1897. Braunschweig (1897). S. 1–40. Dedekind, R.: Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Mathematische Annalen 53 (1900). S. 371–403.
- 32.
Dedekind, R. und Weber, H.: Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 92 (1882), S. 181–299.
- 33.
Dedekind, R.: Über die Discrimanten endlicher Körper. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 29 (1882). S. 1–56.
- 34.
Dedekind, R.: Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig (1888).
puissances. Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 9. S. 390–393. (1832).Author information
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Scheel, K. (2020). Einführung. In: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_1
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