Grundlagen der Zahlentheorie

Zusammenfassung

Die Zahlentheorie ist eine der ältesten und fundamentalsten mathematischen Disziplinen und beschäftigt sich originär, wie der Name schon sagt, mit den Eigenschaften von Zahlen, wobei hier zunächst die natürlichen bzw. die ganzen Zahlen im Fokus stehen. Da man im Rahmen der Untersuchung von Fragen wie Teilbarkeit, Zerlegbarkeit, Darstellbarkeit usw. sehr schnell erkennt, dass es enge strukturelle Verbindungen zwischen den ganzen Zahlen und den Polynomen gibt, befasst sich die moderne Zahlentheorie konsequenter Weise auch mit Polynomen und geht der Frage nach, welche interessanten Eigenschaften sie besitzen und wie man sie im Rahmen konkreter Anwendungen gezielt einsetzen kann. Wir konzentrieren uns im Folgenden auf die zahlentheoretischen Hilfsmittel, die im Rahmen der Verschlüsselungstheorie eine wichtige Rolle spielen und starten mit der Bereitstellung einiger zentraler Grundbegriffe. Im Detail betrachten wir den Satz von Fermat und Euler, den Euklidischen Algorithmus (sowohl für Zahlen als auch für Polynome) sowie den chinesischen Restsatz.