Funktionen vom B-Spline-Typ

Zusammenfassung

Neben den Polynomen (und Quotienten aus Polynomen) haben sich im Grafik-Bereich insbesondere Funktionen bewährt, die stückweise aus Polynomen niedrigen Grades in einer glatten Art und Weise aneinander geheftet werden. Glatt bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die entstehende Funktion als Ganzes hinreichend oft differenzierbar ist. Der für die Anwendungen bedeutsamste Fall sind stückweise Polynome vom Grad $3$ mit zweimaliger stetiger Differenzierbarkeit, d. h. die gesamte Funktion ist zweimal differenzierbar und ihre zweite Ableitung ist immer noch stetig. In der Literatur tauchten Konstruktionen dieses Typs erstmals 1938 in einer Arbeit von Lothar Collatz (1910–1990) (zusammen mit Wilhelm Quade) auf; ausgebaut und in ihrer ganzen Anwendungsrelevanz erkannt wurden sie dann Mitte des 20-sten Jahrhunderts insbesondere von Isaac Schoenberg (1903–1990), der zahlreiche Publikationen zu diesem Themenbereich verfasste. Auf ihn geht auch die für diese Funktionen gebräuchliche Bezeichnung Splines zurück. Der Begriff Spline kommt aus dem Englischen und bedeutet so viel wie elastisches Lineal oder biegsame Latte. Diese im Schiffbau auch Straklatte genannten Zeichengeräte können an einzelnen Punkten durch Gewichte oder Nägel fixiert werden und ermöglichen so z. B. die Konstruktion eines krummlinig verlaufenden Schiffsrumpfs. Im engeren mathematischen Sinne sollen also Spline-Funktionen genau solche flexiblen grafischen Werkzeuge realisieren, mit denen man derartige Konstruktionen rechentechnisch nachvollziehen und implementieren kann.