Stetige Funktionen

Zusammenfassung

Neben der Klassifikation von Funktionen hinsichtlich ihrer Umkehrbarkeit und den damit verbundenen Begriffen (injektiv, surjektiv, bijektiv) spielt die Frage nach der Glattheit von Funktionen in der Analysis eine zentrale Rolle. Was sich darunter qualitativ verbirgt, kann man sich zunächst wieder anhand des Beispiels eines fahrenden Autos veranschaulichen.

Der sich im Fahrzeug befindende Fahrtenschreiber zeichnet auf einer drehbaren Scheibe für jeden Zeitpunkt $t$ eines Tages die momentane Geschwindigkeit $V(t)$ auf. Dabei ist klar, dass die durch den Zeichenstift entstehende Kurve niemals unterbrochen ist, d. h. es gibt stets kontinuierliche Übergänge zwischen den unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten. Der Verlauf der Kurve ist also glatt, d. h. ohne Sprünge. Man fasst dieses für viele natürliche Vorgänge (Temperatur, Druck, Wachstum etc.) zutreffende Verhalten auch bisweilen umgangssprachlich in folgender Redewendung zusammen: Die Natur macht keine Sprünge! Dies ist zwar in völliger Allgemeinheit so nicht korrekt, trifft aber für viele Prozesse in der Natur tatsächlich zu. Die konsequente Beschäftigung mit Verläufen des obigen Typs wird uns zum Konzept der stetigen Funktionen führen.