Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Die Beschäftigung mit Folgen und Reihen ist in der Mathematik und in den Anwendungen von sehr wesentlicher Bedeutung. Die Schwierigkeit beim Umgang mit diesen Konzepten besteht im Allgemeinen darin, dass erstmals der Aspekt des Unendlichen ins Spiel kommt und naturgemäß für einige Verwirrung sorgt. Historisch gesehen war einer der Ersten, der sich damit im Rahmen eines kleinen Rätsels beschäftigte, der griechische Philosoph Zenon von Elea (ca. 490-425 v. Chr.). Er formulierte sinngemäß folgendes Problem:

Achilles und eine Schildkröte laufen um die Wette. Da Achilles zehn mal so schnell wie die Schildkröte läuft, bekommt die Schildkröte einen Vorsprung von 10 Metern. Eigentlich müsste Achilles die Schildkröte schon bald überholen. Zenon argumentierte aber, dass das niemals passieren kann: Achilles wird die Schildkröte niemals überholen, denn wenn Achilles den Startpunkt $P_{1}$ der Schildkröte erreicht hat, dann hat sich die Schildkröte zum Punkt $P_{2}$ weiterbewegt, hat also immer noch einen Vorsprung vor Achilles. Sobald Achilles den Punkt $P_{2}$ erreicht hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter zum Punkt $P_{3}$ gelaufen usw. Achilles kann also niemals an der Schildkröte vorbeikommen, denn immer, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte zuvor war, ist sie schon wieder ein Stück weiter. Die Anschauung und die Erfahrung lehrt, dass Achilles die Schildkröte schon sehr bald überholen müsste. Andererseits stellt Zenon eine Argumentationskette auf, nach der das nicht möglich ist. Wir werden zeigen, dass man hier mit dem Konzept von sogenannten Folgen und Reihen zu einer befriedigenden Antwort kommen kann.